数据结构_二叉树Ⅲ——堆与优先队列

Posted 2021-02-07 shengzhe

堆（Heap）

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堆是一种完全二叉树，只是是用数组的形式表示二叉树而已

它其实是利用完全二叉树的结构来维护一组数据

例如这样一棵完全二叉树：

  

  它用堆的形式表现就是这样的：

  

当然，一般的堆每个元素都是数字呢（不然小根堆与大根堆就没办法实现了呢）

大根堆与小根堆

顾名思义，大根堆/小根堆就是保证根节点是所有数据中最大/小，并且尽力让小的节点在上方

例如下面这个二叉树就是一个小根堆呢

  

（借鉴某书图片）

那如何将任意一个堆调整至大根堆/小根堆呢？

1. 从上向下调整

   让当前结点与它的左右孩子进行比较，哪个比较小就和它交换，更新询问节点的下标为被交换的孩子节点下标，否则退出。

   void heapdown(int i) //传入一个需要向下调整的结点编号i
   {
      int t,flag=0;//flag用来标记是否需要继续向下调整 
      //当i结点有儿子的时候（其实是至少有左儿子的情况下）并且有需要继续调整的时候循环需执行
      while(i*2<=n&&flag==0)
      {        
          //首先判断他和他左儿子的关系，并用t记录值较小的结点编号 
          if(h[i]>h[i*2])
              t=i*2;
          else t=i; 
          //如果他有右儿子的情况下，再对右儿子进行讨论 
          if(i*2+1<=n)
          {
              //如果右儿子的值更小，更新较小的结点编号  
              if(h[t]>h[ i*2+1])
                  t=i*2+1;
          }
          //如果发现最小的结点编号不是自己，说明子结点中有比父结点更小的  
          if(t!=i)
          {
              swap(t,i);
              i=t;//更新i为刚才与它交换的儿子结点的编号，便于接下来继续向下调整 
          }
          else flag=1;//则否说明当前的父结点已经比两个子结点都要小了，不需要在进行调整了 
      }
      return;
   }

2. 从下向上调整

   让当前结点和它的父亲节点比较，若比父亲节点小就交换，然后将当前询问的节点下标更新为原父亲节点下标，否则退出。　

   void heapup(int i) //传入一个需要向上调整的结点编号i
   {
      int flag=0; //用来标记是否需要继续向上调整
      if(i==1)  return; //如果是堆顶，就返回，不需要调整了    
      while(i!=1&&flag==0)
      {
          //判断是否比父结点的小 
          if(h[i]<h[i/2])
              swap(i,i/2);//交换他和他爸爸的位置 
          else flag=1;//表示已经不需要调整了，当前结点的值比父结点的值要大 
          i=i/2; //这句话很重要，更新编号i为它父结点的编号，从而便于下一次继续向上调整 
      }
      return;
   }

优先队列

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优先队列其实是在普通队列的基础上增加了每个元素的优先性（值）

众所周知，普通队列是遵循元素先进先出的原则，进队只能从前面进，出队只能出最后一个

而优先队列不再遵循先入先出的原则，而是分为两种情况：

最大优先队列，无论入队顺序，当前最大的元素优先出队。

最小优先队列，无论入队顺序，当前最小的元素优先出队。

例如说下面的这个优先队列出队就需要出8这个元素

但这种算法的时间复杂度并不理想

如果只用线性数据结构的话，入队和出队的时间复杂度都是O(n)

但我们如果通过二叉堆的方式，每次上浮最大的或最小的

这时出队和入队操作都只需要O(logn)的时间复杂度了

但从来不用STL的本蒟蒻只能用结构体而不会queue的操作QAQ