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Posted 2021-02-07 dsrdsr

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bsgs问题 或 poj2417：

给定质数(p)，给定(a),(b),((a,p)=1)
求出最小的整数x，使得(a^{x}≡b(mod p))

概述

由费马小定理可以知道
(a^{x+p-1}≡a^{x}≡b(mod p))
所以如果有解那([0,p-1])区间内一定会出现解
让(m=sqrt(p))
(x)可以表示为(m*i-j)
那(m,i,j)都是在根号规模的
(a^{m*i-j}≡b(mod p))
(frac{a^{m*i}}{a^{j}}≡b(mod p))
(a^{m*i}≡b*a^{j}(mod p))
右边(hash)表（一般都用stl的map）存在所有的j取值
左边暴力枚举i(因为是-j，所以从1枚举，要不然就成负数了，找出来的就不一定是最小解)
如果(a^{m*i})在hash表中存在，那就有解，也是最小解，结束吧
如果根号范围内还没有解，那就真的没解
算法思想：分块
算法缺陷：p是质数
算法复杂度(sqrt{n})
(map)常数也许很高

代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <map>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,p;
map<ll,ll> hasH;
int main() {
    while(scanf("%lld%lld%lld",&p,&a,&b)!=EOF) {
        ll m=floor(sqrt(p));
        hasH.clear();
        ll tmp=1;
        hasH[b]=1;
        for(ll i=1;i<=m;++i) tmp=tmp*a%p,hasH[tmp*b%p]=i+1;
        ll xx=tmp,i=1,ans=-1;
        for(;i<=m;++i) {
            if(hasH[xx]) {ans=m*i%p-(hasH[xx]-1);break;}
            xx=xx*tmp%p;
        }
        if(ans==-1) puts("no solution");
        else printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

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