[ZJOI2014] 力 题解

Posted 2021-02-07 lim-817

题意：

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发现Ei如果给出了Fi就很好算，所以目标其实是算Fi.
首先我们令(F_j=A_j-B_j).
其中[A_j=sum_{i<j}frac{q_iq_j}{(i-j)^2}.]
[B_j=sum_{i>j}frac{q_iq_j}{(i-j)^2}.]
考虑将第一个式子变形为
[A_j=sum_{i=0}^{j-1}frac{q_iq_j}{(i-j)^2}.]
由乘法分配律，可以将(q_j)单拎出来，得：
[A_j=q_j imes sum_{i=0}^{j-1}frac{q_i}{(i-j)^2}.]
由于((i-j)^2=(j-i)^2)，所以考虑这样一个函数：
[g(x)=frac{1}{x^2}.]
然后就会发现可以把
[frac{q_i}{(i-j)^2}]
变形为
[q_ig(j-i).]
带回原式，得到：[A_j=q_j imes sum_{i=0}^{j-1}q_ig(j-i).]
不难发现后面的那坨东西类似于多项式乘法，但是少了一项，可以手动将(g(0)=0).
然后...这就是个多项式乘法的典型形式！可以用( ext{FFT})解决！
同理也可以化简(B_j).
[B_j=sum_{i=j+1}^{n-1} frac{q_iq_j}{(i-j)^2} ]
[B_j=q_jsum_{i=j+1}^{n} frac{q_i}{(i-j)^2} ]
然后突然发现...这东西和(A_j)的计算方法不大一样!咋整？
瞬间考虑->反转q序列！变成[sum_{i=0}^{j-1}frac{q‘_i}{(i-j)^2}.]
然后把这个式子搞一下，变成[sum_{i=0}^{j-1}q‘_ig(j-i)]
发现这个式子本质上就是(A_j)，就能做了。