第三章 1. 代数系，自然数，整数，有理数，实数，复数

Posted 2021-02-07 zmshum

  群实质上是集合加上满足群公理的乘法运算的数学实体。现在我们将其推广，在集合上加上不同的附加结构(不同公理)，研究可能形成的代数系及其性质。

 

一、 自然数

　　

  自然数$mathbb{N}={0,1,2,3,...}$我们再熟悉不过了，它满足如下性质：

　　(i) 有序性: $mathbb{N}$按“$geq$”可以形成一个次序关系

　　(ii) 无限性: $mathbb{N}$是无限集。它里面的数若按大小次序排列，则在任一数后面，一定还有一个数。

　　(iii) 自然数的最小性: $mathbb{N}$的任意非空子集$S$中有最小数。

　　(iV) 有限归纳原理:  设$Ssubseteq mathbb{N}$，数$1in S$，若由$n-1in S$能推出$nin S$，则有$S=mathbb{N}$. 

  上述性质对物理工作者显然，重要的是自然数集中蕴含的代数结构。自然数对加法运算封闭，然而不存在逆元，因而零元的意义也不大了。我们将群的四条公理简化成如下两条，可得到一个新的代数结构.

 

　　定义　　集合$G={a,b,c,...}$及其中一个运算，构成一个半群，如果它满足：

　　　　　　(i) 运算的封闭性

　　　　　　(ii) 运算的结合律

　　　　此外，如果运算还满足交换律，称$G$为Abel半群或可换半群。自然数集对于加法运算，就是一个Abel半群。

 

二、 整数

 

  整数相比自然数多了负整数，因此这个代数结构对于加法就有了逆元。因此整数集对于加法运算而言是个Abel群。那么我们再来看看整数中的乘法，显然整数对乘法无逆元，但它满足

　　(i)封闭性　　(ii)结合律　　(iii)交换律　　(iV)单位元

　　因此整数集对乘法是具有单位元的Abel半群。

　　如果我们同时考虑加法和乘法，就有了一个新的代数系概念。首先明确分配率的定义:

　　左分配律$acirc (b+c)=acirc b+acirc$, 右分配律$(b+c)circ a=bcirc a+ccirc a$.

　　定义　　集合$K$有加法运算($+$)和乘法运算($circ$)，并满足

　　　　　　(i) $(K,+)$构成Abel群

　　　　　　(ii) $(K,circ )$构成半群

　　　　　　(iii) $(K,+,circ )$满足左、右分配律

　　　　　　则称$(K,+,circ )$构成一个环。

　　　　　　(iV) 如果$(K,circ )$同时满足交换律，则称$(K,+,circ )$是一个Abel环。

　　$(mathbb{Z},+,circ )$是一个有单位元的Abel环，所有偶数构成偶数环，但没有单位元。

　　矩阵元为实数的$n imes n$阶矩阵的全体$gl(n,mathbb{R})$对于矩阵的加法和乘法是一个非Abel环，有单位元(即单位阵)。

　　注意到，对于$(mathbb{Z},circ )$，只要$c eq 0$,有$ccirc a=ccirc b,Rightarrow a=b$. 此性质称为消去律。由此我们可以定义整域。

　　定义　　满足消去律的Abel环，称为整域。

 

三、 有理数

 

  在整域中，有个相对奇异的点$0$。即使引入有理数，$0$的逆元也不存在。因此恰当的做法是使除去$0$以外的元素对乘法成群。为此，我们如下定义：

　　定义　　一个环$K$，假如含有非零的元，而且$K-{0}$构成Abel乘群，就称为域。我们将域记作$(K,+,circ )$.

　　有理数集合$mathbb{Q}={frac{q}{p}|q,pinmathbb{Z},,p eq 0}$是整数$mathbb{Z}$的扩展。$(mathbb{Q},+,circ )$形成一个域，称为有理数域。

 

四、 实数

 

  对于有理数，由于逆元对加法和乘法都存在，有理数的加减乘除均可定义。但是对于开方运算，有理数不封闭。为此我们考虑对有理数域$mathbb{Q}$扩展，将无理数扩充至其中，形成新的实数域$mathbb{R}$.

　　定理3.3　　实数域$mathbb{R}$是不可数的。

　　定义　　若集合$S$与$mathbb{R}$有相等的浓度，则称$S$具有连续势。

 

五、 复数

 

　　定义　　给定集合$mathbb{C}={alpha=(a,b)|(a,bin mathbb{R})}$，其中加法运算为$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$.

 　　　　　   乘法运算为$(a,b)circ (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$. 此时$(mathbb{C},+,circ )$构成一个数域，称为复数域。

　　定理3.4（代数基本定理）　　任意复系数多项式都具有一个复根。

　　推论　　复数域$mathbb{C}$上任意多项式的所有根均在$mathbb{C}$中。因此我们把复数域称为代数封闭域。