Hello 2019

Posted 2021-02-07 sovietpower

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• D.Makoto and a Blackboard
• E.
• F.Alex and a TV Show
• G.
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咕咕了一个月...终于闲的没事想起补了...

ABC代码没在本地（而且懒），就不放了...
（然而当时C题FST了真是想...= =）

D.Makoto and a Blackboard

(Description)
给定(n,k)。每次(n)会等概率地变成自己的一个约数（包括(1,n)），求变化(k)次后(n)期望是多少。
(nleq10^{15}, kleq10^4)。

(Solution)
将(n)质因数分解，(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k})，每次变化后每个质因子的次数(a_i)会随机变成(0sim a_i)中的一个数，且每个(a_i)的变化是独立的。
所以可以对每个质因子分别计算期望，最后乘起来。
令(f[i][j])表示(i)次变化后，(a)变成(j)的概率，(f[0][a]=1)。
转移就是(f[i][j]=sum_{k=j}^afrac{f[i-1][k]}{k+1})。
把所有质因数都算一遍，乘起来就好了。
质因子个数、次数都是(log)级别的（其实乘起来也就(log)级别？），所以复杂度是(O(klog^2n))（其实也就是(O(klog n))？）。

E.

F.Alex and a TV Show

(Description)
有(n)个多重集合，初始都为空。有(q)次操作，操作共四种：
(1 x v)：将第(x)个集合赋值为({v})。
(2 x y z)：把第(x)个集合设为第(y)个集合与第(z)个集合的并。
(3 x y z)：把第(x)个集合设为({gcd(a,b)|ain y,bin z})。
(4 x v)：询问第(x)个集合中，数字(v)出现次数模(2)后的值。
(nleq10^5, qleq10^6)，出现的所有数字均为正整数且(leq7000)。

(Solution)
先考虑第三个类似卷积的操作如何处理。题解用到了类似(FFT)的方法，将“卷积”转化成对应位置的“点值”分别进行运算。
在(x)位置处，不去维护数字(x)的出现次数，而是维护(x)所有倍数的出现次数。这样就可以对不同位置的点值分别维护“(gcd)卷积”啦。
比如(y)集合中(x)的倍数有(a)个，(z)集合中(x)的倍数有(b)个，那么“卷积”之后(x)的倍数就有(a*b)个（而且这个(a,b)与其它位置的值互不影响）。
具体实现，因为只需要判断奇偶性，拿一个大小为(7000)的(bitset A_i)。操作二就是(A_y ^{wedge}A_z)（加），操作三就是(A_y&A_z)（乘）。
但是查询的时候需要容斥：(Ans=A_x-A_{2x}-A_{3x}+A_{6x})...注意到容斥系数只有(mu=1)或(-1)，而(1equiv-1(mod 2))，所以直接把(mu(i*x) eq0)的这些位置上的值加起来就好，也就是全与起来再模(2)。
这样每次操作的复杂度都是(O(frac{7000}{w}))。

G.

H.