数位dp详解

Posted 2021-02-07 liuzuolin

哈哈哈，本菜鸡经过长时间研究，终于略懂的这看似神奇的数位dp。。。

数位dp，顾名思义就是数位+dp，数位即是一个数的每一位上的数字，dp也就是动态规划了。

首先来讲在何时应该想到要用数位dp吧。（相信大部分人都是为了做题而学的）

　　数位dp的题目一般都是给定一个区间，如[l , r]，然后叫你求在这区间里的数有多少个符合题目给的限制条件（解题时一般都是运用前缀和求解，即[l , r]=[0 , r]-[0 , l-1]。)

其次就是讲解数位dp的原理和模板代码了。（菜鸡的我不知道讲的好不好，尽量从一个初学者的角度来讲解吧。)

　　1.数位dp的原理。

　　数位dp是先将你要计算的最大上限按数位（即个、十、百、千，，，）拆分。然后按最高位去遍历每一个数（！！！注意，这里是用数位去遍历0~上限的每一位，其实也就是暴力枚举，不过它加上dp，就可以将时间复杂度降的十分低）。是不是觉得云里雾里，没看懂，没关系，看下面的一个样例你就明白了。

样例：找[35,156]中不包含6的数的个数。

首先将123拆成1、7、6；

这有个位，十位，百位三位。

百位：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

十位：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

个位：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

开始遍历：

百位是：

　　　　0（0<1)；

　　　　　　十位是：0（0<7),那就能遍历到000，001，002，003，004，005，006，007，008，009。去掉前导0也就是0~9（在有些题目中是要处理掉前导0的，一般是与0有关的），因为6不符合题目条件，所以0~9有9个符合题目的数（将其记录下来）；

　　　　　　十位是：1（1<7),那就能遍历到010，011，012，013，014，015，016，017，018，019。去掉前导0也就是10~19，因为16不符合题目条件，所以0~9有9。（！！！注意：如果我们按这样一直遍历下去，那不就相当于暴力了，我们这是数位dp，数位已经在上面体现出来了，接下来就是dp上场了，我们在上一步是不是将0~9中符合题目条件的个数找出来了并且记录了它，那用你的聪明的大脑想想，我们在遍历十位上的数时是不是只要将结果搬过来就行？就如现在的十位是1，那结果不就是出去个位为6的数，因此就可以省去很多没必要的遍历）；

　　　　　　十位是：2（2<7)，符合的个数是9（020，021，022，023，024，025，026，027，028，029）；

　　　　　　十位是：3（3<7)，符合的个数是9（030，031，032，033，034，035，036，037，038，039）；

　　　　　　...........4,5;

　　　　　　十位是：6  (6<7),  这里因为十位是6，所以个位是什么都不符合。

　　　　　　...........7,8,9;

　　　　1(1==1)

　　　　　　十位是：0，1，2，3，4，5，6；个数是（9，9，9，9，9，9，0）

　　　　　　十位是：7（7==7），！！！注意，因为上限是176，现在遍历到的是17X，这里这个X不能是（0~9）了，所以不能直接将9当作符合的个数，因此要一个一个数的去判断是不是我们要的数（即判断170，171，172，173，174，175，176是不是我们要的数）因此这只有6个；

结束遍历；

答案是9+9+9+9+9+9+0+9+9+9+9+9+9+9+9+9+0+6=ans1；

 其次就是将35-1拆成3，4；

因为在遍历0~176是已经遍历了0~29，所以在进行遍历是0~29的符合个数会直接得到是9+9+9，而十位是3时个位只能是0~4，所以总个数是9+9+9+6=ans2；

因此我们的到了答案=ans1-ans2;

这里的数据比较小，但是如果数据是long long的范围，那是不是觉得会比平常的枚举快好多；

好了，样例我们已经讲完了，是不是觉得茅舍顿开，豁然开朗，那我们要怎么去用代码实现呢？接着往下看吧。

　　2，模板代码讲解

　　　　数位dp的实现方法很多，我一般都是喜欢用记忆化搜索实现（好吧，我其实只会用记忆化搜索实现）；

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<string.h>
 4 using namespace std;
 5 int dp[15][sta];//一维是当前第几位，sta是按题目所设的一种状态（不是必须有，比如上面例题没有也行），这也就是记忆化的数组； 
 6 int disit[15];//储存拆分的数 
 7 //***这是模板代码，所以sta不好写，但是没关系，你就把它先忽略，先理清它具体的写法就好了，等看完下面一个模板题你就明白了********
 8 int dfs(int len,......,bool limit)
 9 {
10     if(len==0)
11     return 1;
12     if(!limit&&dp[len][sta]!=-1)// 如上例中的176，如果不是百位是1并且十位是7的情况并且dp[len][sta]计算过时，就可直接返回符合个数 
13     return dp[len][sta];
14     int Maxn=(limit?disit[len]:9);//找到可以遍历的最大数 
15     int ans=0;
16     for(int i=0;i<=Maxn;i++)
17     {
18         if(.........)//这里可以根据题目加一些限制条件，可进行剪枝，根据题目而定； 
19         ..........
20         .............
21         ans+=dfs(len-1,.....,limit&&i==disit[len]);//limit&&i==disit[len]是判断是否到了不能记忆化搜索的数；
22                                                     //如上例中的176，如果百位是1并且十位是7，那么就只能枚举剩下的数了； 
23     }
24     if(!limit) dp[len][sta]=ans;//记忆化，当没有在上样例中的17X时，就可将计算的结果存入dp数组中进行记忆化； 
25     return ans;
26 }
27 //****************拆数************
28 int solve(int x)
29 {
30     int len=0;
31     while(x)
32     {
33         disit[++len]=x%10;
34         x/=10;
35     }
36     return dfs(len,.....,true);
37 }
38 //*******************主函数一般都是这样，是不是超级简单***************** 
39 int main()
40 {
41     //memset(dp,-1,sizeof(dp)); 
42     int l,r;    
43     while(cin>>l>>r)
44     {
45         memset(dp,-1,sizeof(dp));//题目的限制条件在你计算答案时是固定的话，可以把它放外面，这样可以减少时间复杂度。
46         cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl;
47     }
48      return 0;
49 }

模板代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<string.h>
 3 #define LL long long
 4 using namespace std;
 5 int disit[20];
 6 LL dp[20];
 7 LL dfs(int len,bool limit)
 8 {
 9     if(!len) return 1;
10     if(!limit&&dp[len]!=-1) return dp[len];
11     LL ans=0,Maxn=(limit?disit[len]:9);
12     for(int i=0;i<=Maxn;i++)
13     {
14         if(i==6)//当前位是6，则跳出，不搜索
15         continue;
16         ans+=dfs(len-1,limit&&i==Maxn);
17     }
18     if(!limit) dp[len]=ans;
19     return ans;
20 }
21 LL solve(LL x)
22 {
23     memset(disit,0,sizeof(disit));
24     int len=0;
25     while(x)
26     {
27         disit[++len]=x%10;
28         x/=10;
29     }
30     return dfs(len,true);
31 }
32 int main()
33 {
34     memset(dp,-1,sizeof(dp));
35     LL l,r;
36     while(cin>>l>>r)
37     {
38         cout<<(solve(r)-solve(l-1))<<endl;
39     }
40     return 0;
41 }

样例代码

模板题HDU2089  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089

不要62

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 62447    Accepted Submission(s): 24776

Problem Description

杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为62（音：laoer）。
杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。
不吉利的数字为所有含有4或62的号码。例如：
62315 73418 88914
都属于不吉利号码。但是，61152虽然含有6和2，但不是62连号，所以不属于不吉利数字之列。
你的任务是，对于每次给出的一个牌照区间号，推断出交管局今次又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。

 

 

Input

输入的都是整数对n、m（0<n≤m<1000000），如果遇到都是0的整数对，则输入结束。

 

 

Output

对于每个整数对，输出一个不含有不吉利数字的统计个数，该数值占一行位置。

 

 

Sample Input

1 100

0 0

 

 

Sample Output

80

 

 

Author

qianneng

 

 

Source

迎接新学期——超级Easy版热身赛

 

 

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lcy

这题数据小，打表也行，不过万一是0<n≤m<1000000000000000呢，所以还是学会用数位dp做吧。

这里就可以用到dp的二维记录上一位数是否是6；

看代码吧

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<string.h>
 4 using namespace std;
 5 int dp[15][2];
 6 int disit[15];
 7 int dfs(int len,bool sta_6,bool limit)//sta_6是记录上一位是否是6 
 8 {
 9     if(!len) return 1;
10     if(!limit&&dp[len][sta_6]!=-1) return dp[len][sta_6];
11     int Maxn=(limit?disit[len]:9);
12     int ans=0;
13     for(int i=0;i<=Maxn;i++)
14     {
15         if(i==4)
16         continue;
17         if(sta_6&&i==2)
18         continue;
19         ans+=dfs(len-1,i==6,limit&&i==disit[len]);
20     } 
21     if(!limit) dp[len][sta_6]=ans;
22     return ans;
23 }
24 int solve(int x)
25 {
26     int len=0;
27     while(x)
28     {
29         disit[++len]=x%10;
30         x/=10;
31     }
32     return dfs(len,false,true);
33 }
34 int main()
35 {
36     int l,r;
37     memset(dp,-1,sizeof(dp));
38     while(cin>>l>>r&&l+r)
39     {
40         cout<<solve(r)-solve(l-1)<<endl;
41     }
42     return 0;
43 } 

View Code

好了，终于讲完了，累死我了，有错的地方还请指正，能看到这的兄弟也不容易，数位dp中的dp是难点，不过多加训练还是能体会到其中的奥妙的，大家可以点进这里，一起训练和进步吧^-^。

 https://www.cnblogs.com/liuzuolin/p/10348706.html