第二章 3. 同态与同构，直积群，自由群

Posted 2021-02-07 zmshum

下面我们讨论群$G$到$G‘$的映射。

 

一、 同态与同构

 

　　定义　　设有两个群$G$和$G‘$. 若存在一个映射$f: G ightarrow G‘,a ightarrow f(a)$,且满足

　　　　　　$$f(acirc b)=f(a)circ f(b),quad forall a,bin G.$$

　　　　　　则称$f$是$G ightarrow G‘$的一个同态，记作$Gsim G‘$.

　　　　注: 同态定义中等式左边为$G$中乘法，而等式右边为$G‘$中的乘法。

　　定义　　若映射$f$是$G ightarrow G‘$的同态映射，且是一一映射，则称$f$是$G ightarrow G‘$的同构映射，

　　　　　　并称$G‘$同构于$G$，记作$Gcong G‘$. 如果同构映射$f: G ightarrow G$，那么称$f$为群$G$的自同构。

 

　　如果$G‘$与$G$同态，$G‘$只是部分地反映了$G$的性质。但当$G‘$与$G$同构时，在抽象意义上，$G‘$与$G$的构造是完全一样的，即在代数上可以认为是一样的。

　　

　　定义　　把$G$的两个自同构$f_1$和$f_2$的乘积$f_1circ f_2$定义为先映射$f_2$再$f_1$.恒等映射$f_0$对应单位元，且每个自同构均有逆$f^{-1}$存在。又映射有结合律，故群$G$的所有自同构$f$构成一个群，称这个群为群$G$的自同构群，记作$A(G)$或$Aut(G)$.

　　定义　　设$f: G ightarrow G‘$是一个同态映射，我们定义同态象$Im(f)$及同态核$Ker(f)$为

　　　　　　$$Im(f)={f(g)|gin G},quad Ker(f)={g|gin G, f(g)=e‘}$$.

　　定理2.5　　$Im(f)$是$G‘$的一个子群，而$Ker(f)$是$G$的一个正规子群。当$f$是$G$到$G‘$上的映射时，$G‘$同构于商群$G/Ker(f)cong Im(f)$.

　　定理2.6　　一个同态成为同构的充要条件是$Ker(f)=e,,Im(f)=G‘$.

 

  下面我们讨论更复杂的同态映射链，即同态序列。

　　定义　　对于同态映射$f$和$g$的序列$G_1xrightarrow{f} G_2xrightarrow{g} G_3$, 如果有$Im(f)=Ker(g)$，即序列中同态$f$的象等于下一个同态$g$的核，那么称它在$G_2$处是正合的。