浅谈kdtree

Posted 2021-02-07 hzf29721

Ⅰ、抛出问题

Description

有一列元素，每一个元素有三个属性:标号、标识符、数值。这些元素按照标号从1~n排列，标识符也是1~n的一个排列，初始时数值为0。当然我们可以把每个元素看成一个多维数字，那么这列元素就是一个数列。
现在请你维护这个数列，使其能支持以下两种操作：1.将标号为l~r的所有元素的数值先乘上x，再加上y；2.将标识符为l~r的所有元素的数值先乘上x，再加上y。当然你还得回答某些询问：1.标号为l~r的所有元素的数值的和；2.标识符为l~r的所有元素的数值的和。

Input

第一行有两个正整数n、m，分别表示数列长度和操作与询问个数的总和。第二行有n个正整数，表示每个元素的标识符，保证这n个数是1~n的一个排列。接下来m行，每行的第一个数字为op。若op为0，则表示要进行第一个操作，接下去四个数字表示l,r,x,y;若op为1，则表示要进行第二个操作，接下去四个数字表示l,r,x,y;若op为2，则表示要回答第一个询问，接下去两个数字表示l,r;若op为3，则表示要回答第二个询问，接下去两个数字表示l,r。

Output

包含若干行，每行表示一个询问的答案。由于答案可能很大，只要请你输出答案对536870912取模后的值即可。

Sample Input

4 4
2 1 4 3
0 2 3 4 5
1 1 3 4 7
2 1 1
3 1 1

Sample Output

7
27
HINT
第一次操作后，数列变为0 5 5 0
第二次操作后，数列变为7 27 5 7
N,M<=50000, 1<=L<=R<=N 0<=X,Y<=2^31-1

Source

bzoj4303数列

Ⅱ、分析问题

kdtree，全称k-dimensional-tree，意思即为k维树，主要用于解决高维空间的修改查询操作，支持打标记，求最近最远点对等，类似于线段树等数据结构，接下来就来详细讲讲kdtree的写法

1、维护的数据

写数据结构，一定要弄清维护了哪些数据
看代码得了。。
注：代码中给的是二维kdtree的模板，所以只有两位

struct hahaha{
    int tp,ls,rs,v[2],Max[2],Min[2],val;//tp为当前节点维护的是哪一位，ls,rs分别为左右儿子编号，v存节点坐标Max和Min维护当前节点管辖区间的大小，val存当前点的权值
    int cnt,mlt,sum,len;//cnt加标记,mlt乘标记,sum区间和,len区间长度
    bool operator<(const hahaha &y)const{
        return v[T]<y.v[T];//方便寻找中位数
    }
}tree[50010];

2、建树

如图，可以看出，kdtree是以一位一位顺次分割的方式建树的，
每次寻找区间中的中位数点，沿当前维度进行分割，如本图为先竖着再横着分割
第一次先找到横向的中位数，竖着分割一次（已用红色标出），在递归左右子树，找竖着的中位数，横向分割，再往下依次递归
以下建树部分代码：

inline void updata(int p){//很显然的更新
    tree[p].Min[0]=min(tree[p].v[0],min(tree[ls(p)].Min[0],tree[rs(p)].Min[0]));//x坐标的最小值
    tree[p].Min[1]=min(tree[p].v[1],min(tree[ls(p)].Min[1],tree[rs(p)].Min[1]));//y坐标的最小值
    tree[p].Max[0]=max(tree[p].v[0],max(tree[ls(p)].Max[0],tree[rs(p)].Max[0]));//x坐标的最大值
    tree[p].Max[1]=max(tree[p].v[1],max(tree[ls(p)].Max[1],tree[rs(p)].Max[1]));//y坐标的最大值
}
inline int build_tree(int l,int r,int tp){//l,r为区间,tp为区间维度
    T=tp;//T也是区间维度，用于查找中位数
    int mid=((l+r)>>1),p=mid;
    nth_element(tree+l,tree+mid,tree+r+1);//这是个查找中位数的神奇函数
    tree[p].tp=tp;
    tree[p].mlt=1;
    tree[p].len=r-l+1;//更新节点信息
    if(l<mid)
        ls(p)=build_tree(l,mid-1,tp^1);//其实这个地方严谨来说应该是(tp+1)%2,因为维度是顺次遍历,假如说有5维,那就是按照0,1,2,3,4,0,1,2...这样的顺序遍历。
        //注意，这里不是像线段树一样l,mid,而是l,mid-1,因为左区间不包括这个点本身
        //之所以这样写是为了卡常
    if(r>mid)
        rs(p)=build_tree(mid+1,r,tp^1);
    updata(p);//再次更新节点信息
    return p;
}

3、插入操作