[poj1322]Chocolate——生成函数

Posted 2021-02-07 ylsoi

题目大意：

一共有(c)种糖果，取(n)次，每次取到糖果种类都是等概率的，求有(m)种糖果个数为奇数个的概率。

思路：

直接概率DP时间复杂度太高，卡常数也不太好卡。

将每次取出来的糖果看成是一个带有重复元素的排列，直接计算复合条件的排列数量。

考虑符合条件的最后的序列的考虑EGF（指数型生成函数），可得出现次数为偶数次的糖果的生成函数为：
[ F_0(x)=sum_{i=0}^{infty}frac{x^{2i}}{(2i)!}=frac{e^x+e^{-x}}{2} ]
出现奇数次的糖果的生成函数为：
[ F_1(x)=sum_{i=0}^{infty}frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=frac{e^x-e^{-x}}{2} ]
可以得到最后的答案的生成函数为：
[ F_1^{m}(x) imes F_0^{c-m}(x)=(frac{e^x-e^{-x}}{2})^m imes(frac{e^x+e^{-x}}{2})^{c-m} ]
将(e^x)看成是一个整体，然后两边分别二项式展开之后做卷积，然后再将(e^x)展开即可得到第(n)项系数。
[ egin{aligned} G(x)&=2^{-c} imes sum_{i=0}^{m}(-1)^i{mchoose i} imes e^{(m-2i)x} imes sum_{j=0}^{c-m}{c-mchoose j} imes e^{(2j-c+m)x}&=2^{(-c)} imes sum_{i=0}^{m}sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i{mchoose i}{c-mchoose j} imes e^{(2m-2i+2j-c)x}&=2^{(-c)} imes sum_{i=0}^{m}sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i{mchoose i}{c-mchoose j} imes sum_{k=0}^{infty}frac{((2m-2i+2j-c)x)^k}{k!} end{aligned} ]
设第(n)项的系数为(a_n)，最后的答案为：
[ frac{a_n imes{cchoose m} imes n!}{2^c imes c^n} ]
垃圾poj
坑点：
如果用实数类去计算，中间过程可能会爆精度，特别是中间的快速幂，建议将最后分母的那个(c^m)移到系数的快速幂里面，这样会让中间过程的数值小一些。
好像用不了%lf，直接用%f即可。
交C++好像过不了。

/*=======================================
 * Author : ylsoi
 * Time : 2019.2.1
 * Problem : Chocolate
 * E-mail : [email protected]
 * ====================================*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

#define REP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i<=i##_end_;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=a,i##_end_=b;i>=i##_end_;--i)
#define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<" "
#define fi first
#define se second
#define mk make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;

using namespace std;

void File(){
    freopen("poj1322.in","r",stdin);
    freopen("poj1322.out","w",stdout);
}

template<typename T>void read(T &_){
    _=0; T fl=1; char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')fl=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())_=(_<<1)+(_<<3)+(ch^'0');
    _*=fl;
}

const int maxn=1e6+10;
const int maxc=200+10;
int c,n,m;
double C[maxc][maxc],ans;

double qpow(double x,int y){
    double ret=1;
    while(y){
        if(y&1)ret=ret*x;
        x=x*x;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

void init(){
    C[0][0]=1;
    REP(i,1,200){
        C[i][0]=1;
        REP(j,1,i)C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    }
}

int main(){
    File();
    init();
    while(~scanf("%d%d%d",&c,&n,&m)){
        if(!c)break;
        ans=0;
        if(m>c || m>n || (n-m)%2){
            printf("0.000
");
            continue;
        }
        REP(i,0,m)REP(j,0,c-m)
            ans+=(i%2 ? -1 : 1)*C[m][i]*C[c-m][j]*qpow((2*m-2*i+2*j-c)*1.0/c,n);
        ans=ans*C[c][m]/qpow(2,c);
        printf("%.3f
",ans);
    }
    return 0;
}