博弈论

Posted 2021-02-07 kasenbob

一、巴什博弈

假设要报 n 个数，每次最少报一个，最多报 m 个，可得状态式：

 

若 r =0.先手必败，否则先手必胜

二、威佐夫博弈

有两堆若干物品，两个人轮流以其中取至少一件物品，至多不限，或从两堆中取相同件物品，最后取完者胜，可得：

设两堆初始为 x, y,且 x <y.则令 z = y-x,记

 

若 W = X,则先手必败，否则先手必胜

三、尼姆博弈

有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取最后一件者胜，可得：

把每堆物品异或起来，值为0则先手必败，否则先手必胜

四，斐波那契博弈

有一堆物品，两人轮流取物品，先手最少取一个，至多无上限，但不能把物品取完，之后每次取的物品数不超过上次取的物品数的 二倍且至少为一件，取最后一件者获胜，可得：

先手胜当且仅当 n 不为斐波那契数

五. SG 函数（组合博弈）

mex 求出一堆数中还没有出现的首个自然数

S 表示 x 后继状态

函数满足以下性质：

（1 ）函数等于0时，它的后继都不为0

（2 函数不为0时，它的后继一定有为0的

（3 当 x 没有出边时，函数值为0

三个性质对应先手必败的以下性质：

（1 ）无法进行任何移动的局面
（2）可以移到先手必败的是先手必胜
（3）所有移动都导致先手必胜的是先手必败

由此可知，函数值为0即先手必败

六.阶梯博弈

有几堆石子，每次可选择第 i 堆中的任意多个移到第 i-1堆中，第1堆可以放到第0堆中，最后无法操作为输，可得：

先手必败当且仅当奇数阶梯上的石子数异或为0

七.反尼姆博弈

与尼姆博弈相似，只是取最后者输，可得：

两种情况：

（1） 所有堆的石子数均大于1

当堆数为奇数时，先手必败，反之先手必胜

（2 至少有一堆石子数大于1

当 SG 不为0时，先手必胜

当 SG 为0时，先手必败