FFT详解

Posted 2021-02-07 lim-817

快速傅里叶变换( ext{(FFT)})

笔者学习的是这份博客
内容中可能有很多相同之处，敬请谅解。

现在要计算两个一元(n)次多项式(F(x))与(G(x))的乘积，如何计算？
前置知识：多项式的表示方法
一. 系数表示法
对于一个(n)次多项式(F(x))，它可以被表示成
[F(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0x^0.]
更加形式化的来说，它可以表示成
[F(x) = sum_{i=0}^{n} a_ix^i.]
举个例子，2次多项式，其中(a_0=1,a_1=2,a_2=1)
那么(F(x)=1x^2+2x+1.)这样即可通俗的表示出一个(n)次多项式。
二. 点值表示法
众所周知，两个点确定一个一次函数，三个点确定一个二次函数。
所以，(n+1)个点确定一个一元(n)次多项式。
所以我们可以通过(n+1)个点来表示它。
那么相乘之后的点值如何计算？
比如说两个2次多项式(F(x)=x^2+2x+1)（红色）与(G(x)=3x^2-4x-2)（蓝色），它们的图像如图所示：

那么观察图中(x=1)时的情况。此时(F(1)=4,G(1)=-3.)
所以，显然，(F(1) imes G(1)=-12).也就是说在(Z=F*G)这一多项式内，带入(1)，得到的结果是(-12).
等等，好像有哪里不对。如果说(Z=F*G)的话，那么Z的次数应该是(2n).
那(Z)需要(2n+1)个点来确定。但是原来只需要(n+1)个点，咋办？
很简单，在原来的多项式里每个都多加(n)个点即可。反正多项式已知。
这样就可以用点值来进行操作。也就是说先转成点值，再一乘，再转回来，就是计算流程。
但是好像还是很慢。那么如何优化呢?
复数部分
复数，即形如(a+bi)的数，其中(sqrt{i}=-1.) (a)称为实部，(bi)称为虚部。
或者说：在一个数轴上（只有x轴），我们可以表示出任何实数。
那么，多加一维（y轴），也就是类似于平面直角坐标系一样，我们就可以表示出任意一个复数。
所以我们把这个坐标系叫做复平面，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
复数运算
复数相加：实部相加，虚部相加，例如
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.]
复数相减：同理。
[(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.]
复数相乘：像一次多项式一样相乘。 注意(i^2=-1).
[(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i.]
复数相除：
相信大家都学过共轭根式。同样的，复数也有共轭。
即：(a+bi)的共轭为(a-bi)。
这两个复数卡乘在一起一定是个实数。即
[(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2.]
所以再除的时候，将分子分母同乘分母的共轭，就可以将分母有理化。
即
[frac{a+bi}{c+di}=frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=frac{(ac+bd)}{c^2+d^2}+frac{bc-ad}{c^2+d^2}i.]
复数逆元：
[frac{1}{a+bi}=frac{a}{a^2+b^2}-frac{b}{a^2+b^2}i.]