第二章 1.群与子群

Posted 2021-02-07 zmshum

群是一种很特殊且充满对称性的代数结构，这里我们先不关注这些对称性，首先抽象地引入群的定义。

 

一、 群

 

　　定义　　在非空集合$G={a,b,c,...}$中规定一种元素间的代数运算，称为“乘法”。设$a,bin G$，$a$与$b$相乘记作$acirc b$，如果乘法使集合$G$满足以下四条公理，称$G$是一个群：

　　　　　　(i) 封闭性　　$a,bin GquadRightarrowacirc bin G$.

　　　　　　(ii) 结合性　　$a,b,cin GquadRightarrow(acirc b)circ c=acirc(bcirc c)$.

　　　　　　(iii) 单位元　　$extists ein GquadRightarrow forall ain G, acirc e=a$.

　　　　　　(iV) 逆元　　$forall ain GquadRightarrow exists bin G, acirc b=e$.

　　　特别地，如果对群$G$中任意$a,b$都有$acirc b=bcirc a$,则群$G$称为Abel群或可交换群。

　　　$G$中元素的个数称为群$G$的阶，用$|G|$表示，依次可将群分为有限群和无限群。

 

　　注：在不引起歧义的情况下，常常将$acirc b$简写成$ab$.

 

　　定理2.1（重新排列定理）　　对于群$G={e,a_2,a_3,...,a_n}$，在序列$ea_k,a_2a_k,...,a_na_k$，或$a_ke,a_ka_2,...,a_ka_n$中，每个元素$a_i$出现一次，而且仅出现一次。

　　证明：　　对群而言，有消去律的存在，即对$a,b,c,din G$，如果有$ac=bc=d$，那么$a=b$. 因为逆元的存在，$a=b=dc^{-1}$。

　　　　　　　那么，对$a_i,a_j,a_kin G$, $i eq j$，即$a_i eq a_j$。假设$a_ia_k=a_ja_k$，那么由消去律，$a_i=a_j$。矛盾，故假设不成立。因此$a_i eq a_jquadRightarrow a_ia_k eq a_ja_k$。因此在序列中各元素均不重复，又元素的个数为$|G|$，每个元素$a_i$恰好仅出现一次。