斐波那契数列问题的两种解决方法

Posted 2021-02-06 yueshutong

斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

简单来说，斐波那契数列可以用下面这个公式来表示。

      { 0   ,n=0
 f(n)={ 1   ,n=1
      { f(n-1)+f(n-2) ,n>1

关于斐波那契数列衍生的算法题层出不穷，比如青蛙跳台阶问题等（题目：一只青蛙一次可以跳1级台阶，也可以条2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。），斐波那契数列问题的解法主要有两种，下面来看一下。

1.效率极低的递归解法

   long fibonacci(int n){
        if (n==0){
            return 0;
        }
        if (n==1){
            return 1;
        }
        return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
    }

比如我们在求解f(10)时，需要先求f(9)和f(8)。同样，在求f(9)时，需要先求f(8)和f(7).....这种递归方法的时间复杂度是以 n 的指数的方式递增的，因为重复计算的节点数会随着 n 的增大而急剧增大。

2.把递归的算法用循环实现

   long fibonaccis(int n){
        if (n==0){
            return 0;
        }
        if (n==1){
            return 1;
        }
        int zero = 0;//f(0)
        int one = 1; //f(1)
        int sum = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            sum = one+zero; //f(n)=f(n-1)+f(n-2)
            zero = one;
            one = sum;
        }
        return sum;
    }

我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，在下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过就不用再重复计算了。

这个算法的流程是：

f(2)=f(1)+f(0)
f(3)=f(2)+f(1)
f(4)=f(3)+f(2)
...

3.解法比较

用不同的方法求解斐波那契数列的时间效率大不相同。第一种基于递归的解法虽然直观但时间效率很低，在实际软件开发中不会用这种方法，也不可能得到面试官的青睐。第二种方法把递归的算法用循环实现，极大地提高了时间效率。