[TJOI2017]可乐(矩阵快速幂）

Posted 2021-02-06 zhangbuang

题目描述

加里敦星球的人们特别喜欢喝可乐。因而，他们的敌对星球研发出了一个可乐机器人，并且放在了加里敦星球的1号城市上。这个可乐机器人有三种行为： 停在原地，去下一个相邻的城市，自爆。它每一秒都会随机触发一种行为。现 在给加里敦星球城市图，在第0秒时可乐机器人在1号城市，问经过了t秒，可乐机器人的行为方案数是多少？

输入输出格式

输入格式：

 

第一行输入两个正整数况N,M，N表示城市个数，M表示道路个数。（1 <= N <=30,0 < M < 100)

接下来M行输入u,v，表示u，v之间有一条道路。（1<=u,v <= n)保证两座城市之间只有一条路相连。

最后输入入时间t

 

输出格式：

 

输出可乐机器人的行为方案数，答案可能很大，请输出对2017取模后的结果。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 2
1 2
2 3
2

输出样例#1： 复制

8

说明

【样例解释】

1 ->爆炸

1 -> 1 ->爆炸

1 -> 2 ->爆炸

1 -> 1 -> 1

1 -> 1 -> 2

1 -> 2 -> 1

1 -> 2 -> 2

1 -> 2 -> 3

【数据范围】

对于20%的pn，有1 < t ≤ 1000

对于100%的pn，有1 < t ≤ 10^6。

 

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这道题我们可以从邻接矩阵的幂的意义考虑。

设现在有一个邻接矩阵AA。

那么A^kAk的意义是什么？（两个点之间若有边则A[u][v]=1A[u][v]=1）

从floydfloyd算法的角度考虑，不难发现A^kAk的第ii行第jj列的数字含义是从ii到jj经过kk步的路径方案总数。

从这个角度考虑，这个点就有了一种做法。

首先将这个图的邻接矩阵建出来，然后直接算这个矩阵的kk次方。

最后统计sumlimits_{i=1}^{n}A[1][i]i=1∑n?A[1][i]就是答案。

那么在原地停留和自爆怎么处理？

在原地停留很简单，我们只要认为每个点都有一个从自己到自己的自环即可。

那自爆呢？

我们可以将自爆这个状态也看成一个城市，就设它为编号00。

我们在邻接矩阵上从每个点都向这个点连一条边，这个点除了自己外不连其他出边。

这样就满足了任何一个点随时可以自爆，且无法恢复到其他状态。

最后，统计答案。

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 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cctype>
 5 #include<cmath>
 6 #include<iostream>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<vector>
 9 #include<set>
10 #include<map>
11 #include<queue>
12 #include<stack>
13 typedef long long ll;
14 typedef unsigned long long ull;
15 using namespace std;
16 const int P=2017;
17 struct Matrix{
18     int a[31][31];
19     inline Matrix operator * (const Matrix &rhs)
20     {
21         Matrix ret;
22         memset(&ret,0,sizeof ret);
23         for(int i=0;i<=30;i++)
24             for(int j=0;j<=30;j++)
25                 for(int k=0;k<=30;k++)
26                     (ret.a[i][j]+=a[i][k]*rhs.a[k][j]%P)%=P;
27         return ret;
28     }
29 }mp;
30 Matrix ksm(Matrix &a,int b)
31 {
32     Matrix ret;
33     memset(&ret,0,sizeof ret);
34     for(int i=0;i<=30;i++) ret.a[i][i]=1;
35     while(b)
36     {
37         if(b&1) ret=ret*a;
38         a=a*a;b>>=1;
39     }
40     return ret;
41 }
42 int u,v,n,m,t;
43 int main()
44 {
45     scanf("%d%d",&n,&m);
46     for(int i=1;i<=m;i++)
47     {
48         scanf("%d%d",&u,&v);
49         mp.a[u][v]=1;mp.a[v][u]=1;
50     }
51     for(int i=0;i<=n;i++)
52         mp.a[i][i]=1;
53     for(int i=1;i<=n;i++) mp.a[i][0]=1;
54     int ans=0;
55     scanf("%d",&t);
56     Matrix anss=ksm(mp,t);
57     for(int i=0;i<=n;i++) (ans+=anss.a[1][i])%=P;
58     printf("%d
",ans);
59 }