扩展欧几里得算法

Posted 2021-02-06 saitoasuka

扩展欧几里得算法

定义：

贝祖定理对于任意整数a,b，存在一对整数x,y,满足ax+by=gcd(a,b)

用欧几里得算法计算一组x,y的方法，称作“扩展欧几里得”算法

求解

思路

假设a>b
[ (1) b=0:gcd(a,b)=a,ax+by=a,则x=1,y=0; ]

[ (2)b eq0，如图 ]

Code

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//求解ax+by=gcd(a,b)x,y 并返回 最大公约数 
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
    return d;
}

一般

对于ax+by=c 该方程有解当且仅当

gcd(a,b)|c

此时可先求ax+by=gcd(a,b)的解x‘,y‘,即ax‘+by‘=gcd(a,b),令d=gcd(a,b),等式两边同时乘以c/d可得原方程的一组解为：
[ left{egin{matrix}x={x}'cdot c/d \\ y={y}'cdot c/d end{matrix} ight. ]
Ps:通解
[ left{egin{matrix}x={x}'cdot frac{c}{d}+kfrac{b}{d} \\ y={y}'cdot frac{c}{d}-kfrac{a}{d} end{matrix} ight. ]
?通解说明：

?ax+by=c，令a(x+t1)+b(y+t2)=c，可得

?at1=-bt2，左右两边必须同时包含a,b的因子

?最小的满足上式的正整数为lcm(a,b)

?即at1=-bt2=k*lcm(a,b)

?则t1=klcm(a,b)/a=kb/gcd(a,b)

? t2=…=-k*a/gcd(a,b)