2069: [POI2004]ZAW

Posted 2021-02-06 mjtcn

2069: [POI2004]ZAW

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题意：

　　给定一张带权图（边是双向的，但不同方向长度不同）。求从1出发，至少经过除1外的一个点，再回到1的最短路。点和边不能重复经过。 n≤5000，m≤10000

分析：

　　因为不能重复经过，不能直接最短路的，考虑去掉不能重复经过一个点的限制。

　　可以枚举所有与1有边的点，然后从这里面枚举一个点的，求出到其他与1相连的点最短路，来更新。　

　　这样显然复杂度是关于1的出度的，复杂度并不是很理想。

　　然后这里有一个技巧，按照二进制某一位上的01分成两个集合，然后跑多源最短路。

　　为什么可以呢？任何两个不同的点的二进制位最少存在一位不同。　　

　　复杂度$O(nlog^2n)$

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define pa pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long LL;

inline int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch==‘-‘)f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-‘0‘;return x*f;
}

const int N = 20005, INF = 1e9;
struct Edge{ int to, nxt, w; } e[50005];
int head[N], dis[N], df[N], dt[N], A[N], En;
bool vis[N];
priority_queue< pa, vector< pa >, greater< pa > > q; 

inline void add_edge(int u,int v,int w) {
    ++En; e[En].to = v, e[En].nxt = head[u], e[En].w = w; head[u] = En;
}
void Dijkstra() {
    while (!q.empty()) {
        int u = q.top().second; q.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = 1;
        for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
            int v = e[i].to;
            if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) {
                dis[v] = dis[u] + e[i].w;
                q.push(pa(dis[v], v));
            }
        }
    }
}
int main() {
    int n = read(), m = read(), cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u = read(), v = read(), w;
        if (u == 1) {
            df[v] = read(), dt[v] = read();
            if (!vis[v]) vis[v] = 1, A[++cnt] = v;
        }
        else if (v == 1) {
            dt[u] = read(), df[u] = read();
            if (!vis[u]) vis[u] = 1, A[++cnt] = u;
        }
        else {
            w = read();add_edge(u, v, w);
            w = read();add_edge(v, u, w);
        }
    }
    int ans = INF;
    for (int k = 1; k <= cnt; k <<= 1) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) dis[i] = INF, vis[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= cnt; ++i) 
            if (i & k) q.push(pa(dis[A[i]] = df[A[i]], A[i]));
        Dijkstra();
        for (int i = 1; i <= cnt; ++i) 
            if (!(i & k)) ans = min(ans, dis[A[i]] + dt[A[i]]);
        
        for (int i = 1; i <= n; ++i) dis[i] = INF, vis[i] = 0;
        for (int i = 1; i <= cnt; ++i) 
            if (!(i & k)) q.push(pa(dis[A[i]] = df[A[i]], A[i]));
        Dijkstra();
        for (int i = 1; i <= cnt; ++i) 
            if (i & k) ans = min(ans, dis[A[i]] + dt[A[i]]);            
    }
    cout << ans;
    return 0;
}