树上期望距离

Posted 2021-02-06 luoshuitianyi

树上期望距离

设：

• (d[i])：节点 (i) 的度数
• (fa[i])：节点 (i) 的父亲

我们分为两个部分：儿子到父亲与父亲到儿子。

儿子到父亲

我们先设 (f[i]) 为 (i) 到 (fa[i]) 的期望移动步数。

显然，分为两种情况：

• 一步走到父亲

对于这种情况，只需要走一步即可到达父亲节点，而这种概率为 (frac{1}{d[i]}) ，长度则为 (1) 。那么贡献期望长度为 (frac {1}{d[i]})

• 先走到 (i) 的某个儿子，然后再走回来。

对于这种情况，贡献期望长度当然为：

(走到儿子的步数+儿子走到 (i) 的步数+ (i) 到父亲的步数)/ (d[i])

由于现在走到儿子已经是个钦定的事情，那么步数为 (1) ，而儿子走到 (i) 的步数则必定为 (f[son]) ，(i) 到父亲的步数则一定是 (f[i]) ，是不是看起来重复了 (f[i]) ，挺绕的 ？

那么易得 (f[i]=frac{1+sum (f[son]+f[i]+1)}{d[i]}) ，即是将两个情况的贡献加在一起。由于 (i) 的儿子数肯定为 (d[i]-1) 我们考虑化简这个式子，拆出 (sum) 中的 (1) 与 (f[i]) ：
[ f[i]=frac{1+sum (f[son]+f[i]+1)}{d[i]}f[i]=frac{1+d[i]-1+(d[i]-1)*f[i]+sum f[son]}{d[i]}f[i]=frac{d[i]+sum f[son] +(d[i]-1)*f[i]}{d[i]} ]
接着我们将右边的 (f[i]) 拆下来移项至左边：
[ f[i]=frac{d[i]+sum f[son]}{d[i]}+frac{(d[i]-1)*f[i]}{d[i]}\frac{f[i]}{d[i]}=frac{d[i]+sum f[son]}{d[i]} ]
最后即可得到式子：
[ f[i]=d[i]+sum f[son] ]

父亲到儿子

我们设 (g[i]) 为 (i) 的父亲移动到 (i) 的期望步数，并设 (i) 的父亲为 (x) 。

那么有三种情况：

• (x) 直接一步移动到 (i)

这种情况下肯定为 (frac{1}{d[i]}) 的贡献。

• (x) 先移动到 (fa[x]) ，然后再移动回 (x) 再移动到 (i)

当然我们的长度肯定为：移动到 (fa[x]) 的步数+(fa[x]) 移动回 (x) 的步数+ (x) 移动到 (i) 的步数

(=(1+g[x]+g[i])/d[i])

• (x) 先移动到除了 (i) 之外的其他儿子之一，再移动回 (x) 再移动到 (i)

长度为：移动到儿子的步数+儿子移动回 (x) 的步数+(x) 移动到 (i) 的步数

(=(1+f[son]+g[i])/d[i])

那么贡献之和为：
[ g[i]=frac{1+(1+g[x]+g[i])+sum_{son eq i}(1+f[son]+g[i])}{d[i]} ]
由于 (x) 除 (i) 以外的儿子个数为 (d[x]-2) ，那么可以如法炮制，像 (f) 数组那样化简：
[ g[i]=frac{2+g[x]+g[i]+d[x]-2+(d[x]-2)*g[i]+sum_{son eq i}f[son]}{d[i]} ]
消项移项可得：
[ g[i]=g[x]+d[x]+sum_{son eq i}f[son] ]

距离计算

对于给定的 (u->v) 这样一条树上路径，我们可以拆成两条：

(u->lca) 与 (lca->v)

对于第一条路径，肯定是全程向上的，对于第二条路径，肯定是全程向下的。

那么长度肯定为：
[ sum_{iin (u->lca)} f[i] +sum_{iin(lca->v)}g[i]-f[lca]-g[lca] ]
则我们可以使用树上前缀和记录每个点到根节点的 (f) 与 (g) 之和，接下来就能够利用前缀和快速求出 (sum) 的值了。