CF EDU59 E Vasya and Binary String (DP)

Posted greenty1208

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了CF EDU59 E Vasya and Binary String (DP)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题意

给一串01串,对该串进行若干次操作,直到串为空

操作为:选择一段连续的0或者1,删除它,拼接前后两部分成为新串,得到价值为a[删除的长度](a为给定的数组)

思路

一个非常规的DP

考虑题目所给的操作,我们从中删除一段,再把前后拼接起来,如何设置状态?记录下断点的位置?不行,那样我们可能在其中插入很多断点,并且不便于转移

$...111000111...$

如果我们仅仅研究中间的子串$111000111$

我们删除中间的0,形成$111111$

再删除中间的1,这样我们其实可以看做原串是$000underline{111}111$

也就是前面的1和后面的1其实是捆在一起的,这样按原来的操作,答案不会改变

设置状态:$dp[i][j][k]?$ 表示删除从i到j的子串,该子串前面捆绑了$k-1?$个与$s[i]?$相同的字符,能得到的最大价值

这样的话,考虑转移方式:

  1. 我们直接删除前面$k$个相等的字符,$dp[i][j][k] = a[k] + dp[i+1][j][1]$,因为捆绑的全消耗掉了所以后半部分是$K = 1$

  2. 我们从中删除一段,再把前后粘贴起来,这样的话,也就是上面的情况,我们需要把前面的和后面的捆绑起来,所以必须满足从中找到一个点$mid > i,s[i] = s[mid]$,这样的话$dp[i][j][k] = dp[i+1][mid-1][1] + dp[mid][j][k+1]$

    看这个式子,我们只捆绑的是第一个字符,因为我们可以多次进行这样的操作,使得捆绑的是任意的(这里不需要我们自己去构造,而是在求解过程中自然构造的)

所以最后的答案是$dp[1][n][1]$

由于这个转移比较骚,我们可以采用记忆化搜索

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
char s[105];
ll a[105];
ll dp[105][105][105];
ll DP(int be,int en,int pre) {
    if(be > en) return 0;
    if(dp[be][en][pre]) return dp[be][en][pre];
    if(be == en) return dp[be][en][pre] = a[pre];
    ll ans = a[pre] + DP(be+1,en,1);
    for(int mid = be+1;mid <= en;mid++) {
    if(s[mid] == s[be]) 
            ans = max(ans,DP(be+1,mid-1,1) + DP(mid,en,pre+1));
    }
    return dp[be][en][pre] = ans;
} 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    cin>>s+1;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    cout<<DP(1,n,1)<<endl;
}

以上是关于CF EDU59 E Vasya and Binary String (DP)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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