LuoguP1226 模板快速幂||取余运算

Posted 2021-02-06 frankchen831x

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1226

第一次学快速幂，将别人对快速幂原理的解释简要概括一下：

　　计算a^b时，直接乘的话计算次数为b，而快速幂则只需要log₂(b)次，很实用。

　　快速幂有很多种解释，以下介绍两种：

　　一.

　　　　我们可以将b转换为二进制来看，比如计算2^11，因为（11）₁₀=（1011）₂，所以2¹¹=2^{1*8+0*4+1*2+1*1}=2^1×8×2^1×2×2^1×1。

　　　　具体计算可以参考代码：

int quickPower(int a, int b)//是求a的b次方
{
    int ans = 1, base = a;//ans为答案，base为a^(2^n)
    while(b > 0)//b是一个变化的二进制数，如果还没有用完
    {
        if(b & 1)//&是位运算，b&1表示b在二进制下最后一位是不是1，如果是：
            ans *= base;//把ans乘上对应的a^(2^n)

        base *= base;//base自乘，由a^(2^n)变成a^(2^(n+1))
        b >>= 1;//位运算，b右移一位，如101变成10（把最右边的1移掉了），10010变成1001。现在b在二进制下最后一位是刚刚的倒数第二位。结合上面b & 1食用更佳
    }
    return ans;
}

　　一般会将快速幂与取余运算结合在一起，例如本题。取余运算有一些很好的性质：

　　　　(a+b) mod c = (a mod c + b mod c) mod c

　　　　(a*b) mod c =((a mod c)*(b mod c)) mod c

　　即在本题中求幂的过程中取余和求幂之后取余是一样的。另外，关于本题，有一个特殊情况，即k=1时，结果总为0，需要特判（最后一个测试点）。

　　本题的AC代码如下：　　

#include<cstdio>
using namespace std;

long b,p,k,res=1;

void QuickPower(long bb,long pp,long kk){
    long base=bb;
    base%=kk;
    while(pp){
        if(pp&1){
            res*=base;
            res%=kk;
        }
        base*=base;
        base%=kk;
        pp>>=1;
    }
}

int main(){
    scanf("%ld%ld%ld",&b,&p,&k);
    if(k!=1){
        QuickPower(b,p,k);
        printf("%ld^%ld mod %ld=%ld
",b,p,k,res);
    }    
    else
        printf("%ld^%ld mod %ld=0
",b,p,k);
    return 0;
}

　　二.关于快速幂的另一种理解方式：

　　对于a^b，若b为偶数，递归计算(a²)^b/2;若b为奇数，则递归计算a*(a²)^(b-1)/2。