关于循环矩阵的一些理解和应用

Posted 2021-02-06 cj-xxz

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了关于循环矩阵的一些理解和应用相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

问题引入

给定一个长度为(n)的环，每次对于一个位置上的数，加上它左边的数乘上(L)，再加上右边的数乘上(R)。(L,R)是给定的常数，问执行(s)次之后，这个环上的每个位置上的数是多少

（计算时左边和右边的数都是上一次的数）

如果(n leq 100, s leq 2^{30})

可以想到矩阵快速幂

构造矩阵
[ egin{aligned} &egin{bmatrix}a_1 & a_2 & cdots & a_nend{bmatrix} imes egin{bmatrix} 1 & l & 0 & 0 & cdots & 0 & r & 1 & l & 0 & cdots & 0 & 0 \cdots & cdots & cdots & cdots & cdots & cdots & cdots l & 0 & cdots & cdots & cdots & r & 1 end{bmatrix} =;& egin{bmatrix}a_1' & a_2' & cdots & a_n'end{bmatrix} end{aligned} ]
于是开心地快速幂了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define clear(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

inline int read()
{
    int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
    while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
    if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return data * w;
}

const int maxn(1010);
int n, s, L, R, _x, Pow[10], a[maxn], Mod;

namespace $
{
    const int N(110);
    struct Matrix
    {
        int n, m, a[N][N];
        Matrix(int x, int y) : n(x), m(y) { memset(a, 0, sizeof a); }
        int *operator [] (const int &id) { return a[id]; }
        const int *operator [] (const int &id) const { return a[id]; }
    };

    Matrix operator * (const Matrix &a, const Matrix &b)
    {
        Matrix c(a.n, b.m);
        for(RG int i = 0; i < a.n; i++)
            for(RG int j = 0; j < a.m; j++)
                for(RG int k = 0; k < b.m; k++)
                    c[i][k] = (1ll * c[i][k] + 1ll * a[i][j] * b[j][k]) % Mod;
        return c;
    }

    int main()
    {
        Matrix S(1, n), T(n, n);
        for(RG int i = 0; i < n; i++) S[0][i] = a[i];
        for(RG int i = 0; i < n; i++)
        {
            int pre = (i - 1 + n) % n, suc = (i + 1) % n;
            T[i][i] = 1, T[pre][i] = L, T[suc][i] = R;
        }
        while(s)
        {
            if(s & 1) S = S * T;
            T = T * T; s >>= 1;
        }
        for(RG int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", S[0][i]);
        return 0;
    }
}

int main()
{
    Pow[0] = 1;
    for(RG int i = 1; i < 10; i++) Pow[i] = Pow[i - 1] * 10;
    n = read(), s = read(), L = read(), R = read(), _x = read();
    for(RG int i = 0; i < n; i++) a[i] = read();
    Mod = Pow[_x];
    return $::main();
}

解决

可是：

(n leq 1000, s leq 2^{30})

( ext{TLE})

但仔细看这个矩阵可以发现一个特点：它的每一行都是上一行往右移动一位得到的

不但如此，这个矩阵无论自乘多少次，都满足这个性质，所以理论上只需要维护第一行就好了

令(k[i])表示矩阵第一行的第(i)个，那么有（假设是一个(4 * 4)的矩阵
[ egin{aligned} k[1]'&=a[1][1] imes a[1][1] + a[1][2] imes a[2][1] + a[1][3] imes a[3][1] + a[1][4] imes a[4][1] &=k[1] imes k[1] + k[2] imes k[4] + k[3] imes k[3] + k[4] imes k[2] end{aligned} \therefore k[2] = k[1] imes k[2] + k[2] imes k[1] + k[3] imes k[4] + k[4] imes k[3] ]
可以看出一些规律：
[ k[x]=sum_{(i+j-2) \% n + 1 = x} k[i] imes k[j] ]
这样复杂度就是(O(n^2log;s))了

解决啦！！！

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register
#define file(x) freopen(#x".in", "r", stdin), freopen(#x".out", "w", stdout)
#define clear(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

inline int read()
{
    int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
    while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
    if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return data * w;
}

const int maxn(1010);
int n, s, L, R, _x, Mod = 1;
int S[maxn], T[maxn];

void Mul(int S[], int T[])
{
    static int c[maxn]; clear(c, 0);
    for(RG int i = 1; i <= n; i++)
        for(RG int j = 1; j <= n; j++)
            (c[(i + j - 2) % n + 1] += 1ll * S[i] * T[j] % Mod) %= Mod;
    std::copy(c + 1, c + n + 1, S + 1);
}

int main()
{
    n = read(), s = read(), L = read(), R = read(), _x = read();
    for(RG int i = 1; i <= _x; i++) Mod *= 10;
    for(RG int i = 1; i <= n; i++) S[i] = read();
    T[1] = 1, T[2] = L, T[n] = R;
    for(; s; s >>= 1, Mul(T, T)) if(s & 1) Mul(S, T);
    for(RG int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", S[i]);
    return 0;
}