[ST表]

Posted 2021-02-06 -wind-

RMQ问题：给定一个长度为N的区间，M个询问，每次询问[Li,Ri]这段区间元素的最大值/最小值。

RMQ的高级写法一般有两种，即为线段树和ST表。

本文主要讲解一下ST表的写法。（以区间最大值为例）

ST表：一种利用dp思想求解区间最值的倍增算法。

定义：f(i,j)表示[i,i+2j−1]这段长度为2j的区间中的最大值。

预处理：f(i,0)=ai。即[i,i]区间的最大值就是ai。

状态转移：将[i,j]平均分成两段，一段为[i,i+2j−1−1]，另一段为[i+2j−1,i+2j−1]。

两段的长度均为2j−1。f(i,j)的最大值即这两段的最大值中的最大值。

得到f(i,j)=max{f(i,j−1),f(i+2j−1,j−1)}。

void RMQ(int N){
    /*注意外部循环从j开始，
    因为初始状态为f[i][0],
    以i为外层会有一些状态遍历不到。*/ 
    for(int j=1;j<=20;j++)  
        for(int i=1;i<=N;i++)
            if(i+(1<<j)-1<=N)
                f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

查询：若需要查询的区间为[i,j]，则需要找到两个覆盖这个闭区间的最小幂区间。

这两个区间可以重复，因为两个区间是否相交对区间最值没有影响。（如下图）

当然求区间和就肯定不行了。这也就是RMQ的限制性。

因为区间的长度为j−i+1，所以可以取k=log2(j−i+1)。

则RMQ(A,i,j)=max{f(i,k),f(j−2k+1,k)}。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[100001],f[100001][20];
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())
        if(c==‘-‘)
            f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        x=x*10+c-‘0‘;
    return x*f;
}
void RMQ(int N){
    for(int j=1;j<=20;j++)    
        for(int i=1;i<=N;i++)
            if(i+(1<<j)-1<=N)
                f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]); 
}
int main(){
    int N=read(),M=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) f[i][0]=a[i];
    RMQ(N); 
    while(M--){
        int i=read(),j=read();
         int k=(int)(log((double)(j-i+1))/log(2.0)); 
        printf("%d
",max(f[i][k],f[j-(1<<k)+1][k]));
    }
    return 0;
}