kruskal重构树

Posted 2021-02-06 cj-chd

kruskal重构树

kruskal重构树，顾名思义，是在kruskal的时候顺便搞出来的一棵重构树，具体地说是一个堆。

先说说这个东西是怎么搞出来的吧：默认事先把边按边权从小到大排序，在kruskal的时候，如果当前加入的边连接的两个点(x)和(y)不在同一个连通块中，就新建一个节点作为(x)和(y)所在树的根节点的父亲，令这个节点的权值为这条边的权值，还有一般kruskal也要做的把并查集合并；在同一个连通块中就不管。

从模板题看看重构树的性质：BZOJ3732 Network

仔细观察发现重构树上两点的lca的权值就是这两点之间路径的最大边权的最小值。其实如果是按边权从大到小排序的话，lca的权值就是最小边权的最大值，我们就是用这条性质来这道做题的。

树剖lca最好了。

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define R register
#define I inline
#define B 1000000
using namespace std;
const int N = 300007;
char buf[B], *p1, *p2;
I char gc() { return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, B, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++; }
I int rd() {
    R int f = 0;
    R char c = gc();
    while (c < 48 || c > 57)
        c = gc();
    while (c > 47 && c < 58)
        f = f * 10 + (c ^ 48), c = gc();
    return f;
}
int f[N], val[N], fa[N], son[N][2], dep[N], top[N], cnt;
struct edge{int x, y, z;}e[N];
I int operator < (edge a, edge b) { return a.z < b.z; }
I int find(int x) {
    R int r = x, y;
    while (f[r] ^ r)
        r = f[r];
    while (x ^ r)
        y = f[x], f[x] = r, x = y;
    return r;
}
void dfs1(int x, int f) {
    fa[x] = f, dep[x] = dep[f] + 1;
    if (son[x][0])
        dfs1(son[x][0], x), dfs1(son[x][1], x);
}
void dfs2(int x, int t) {
    top[x] = t;
    if (son[x][0])
        dfs2(son[x][0], t), dfs2(son[x][1], son[x][1]);
}
I int lca(int x, int y) {
    while (top[x] ^ top[y])
        dep[top[x]] > dep[top[y]] ? x = fa[top[x]] : y = fa[top[y]];
    return dep[x] < dep[y] ? x : y;
}
int main() {
    R int n = rd(), m = rd(), k = rd(), i, x, y;
    for (i = 1; i <= m; ++i)
        e[i] = (edge){rd(), rd(), rd()};
    for (i = 1; i <= n; ++i)
        f[i] = i;
    sort(e + 1, e + m + 1), cnt = n;
    for (i = 1; i <= m; ++i) {
        x = find(e[i].x), y = find(e[i].y);
        if (x ^ y) {
            ++cnt, f[cnt] = f[x] = f[y] = cnt, val[cnt] = e[i].z;
            son[cnt][0] = x, son[cnt][1] = y;
        }
    }
    dfs1(cnt, 0), dfs2(cnt, cnt);
    for (i = 1; i <= k; ++i)
        x = rd(), y =rd(), printf("%d
", val[lca(x, y)]);
    return 0;
}

了解更多的性质可以做做这些题：

[NOI2018]归程 题解