树状数组（Binary Indexed Tree）

Posted 2021-02-05 wushengyang

对于学习的线段树方面的，发现很多问题可以用它来求解，但是做题的时候发现，用线段树太容易tle也，很多次也是卡时间过的，然后就发现了树状数组。

首先我们搞明白树状数组是用来干嘛的，树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值，经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

所以说，树状数组的求解和线段树的求解有些重合，但是功能没有线段树的那么广泛。但是对树状数组来说，其思想大概是用二进制的方法来实现。

先简单介绍下基本二进制的使用方法：

& 按位与       如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0
| 按位或        两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1
^ 按位异或    若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
~ 取反           ~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将0变1，将1变0
<< 左移         用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补0  （<<1则是乘2）
>> 右移         将一个数的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0（>>1则是除2）

原理：lowbit      

 lowbit这个函数的功能就是求某一个数的二进制表示中最低的一位1，举个例子，x = 6，它的二进制为110，那么lowbit(x)就返回2，因为最后一位1表示2。

那么怎么求lowbit呢？把这个数的二进制写出来，然后从右向左找到第一个1(这个1就是我们要求的结果，但是现在表示不出来，后来的操作就是让这个1能表示出来)，这个1不要动和这个1右边的二进制不变，左边的二进制依次取反，这样就求出的一个数的补码，说这个方法主要是让我们理解一个负数的补码在二进制上的特征，然后我们把这个负数对应的正数与该负数与运算一下，由于这个1的左边的二进制与正数的原码对应的部分是相反的，所以相与一定都为0,；由于这个1和这个1右边的二进制都是不变的，因此，相与后还是原来的样子，故，这样搞出来的结果就是lowbit(x)的结果。

然后后面的看到大佬的博客就直接贴个博客链接了，感觉大佬讲解的很详细了。

贴个大佬的模板：

 

int lowbit(int x){
    return x & -x;
} 

void update(int i,int val){   //单点更新 
    while(i<=n){
        c[i]+=val;
        i+=lowbit(i);   //由叶子节点向上更新树状数组c，从左往右更新 
    }
}

int sum(int i){    // 求区间[1,i]内所有元素的和 
    int ret=0;
    while(i>0){
        ret+=c[i];  //从右往左累加求和
        i-=lowbit(i); 
    }
    return ret;
}

 

原文博客链接：https://www.cnblogs.com/acgoto/p/8583952.html