MT288必要性探路

Posted 2021-02-05 mathstudy

已知$f(x)=e^x-dfrac{1}{2}ax^2-b$
(1)当$a=1,b=1$时,求$f(x)$在$[-1,1]$上的值域.
(2)若对于任意实数$x$,$f(x)ge0$恒成立,求$a+b$的最大值

解答:(1)略,(2)由题意$dfrac{1}{2}ax^2+ble e^x$,必要性:令$x=-sqrt{2},a=-dfrac{e^{-sqrt{2}}}{sqrt{2}}$则$a+ble e^{-sqrt{2}}$, 下证充分性
$f^{‘}(x)=e^x-ax=e^x+dfrac{e^{-sqrt{2}}}{sqrt{2}}x$,显然$f(x)$在$-sqrt{2}$处取到最小值.
故此时$f(x)ge f(-sqrt{2})=e^{-sqrt{2}}-a-b=0$,即满足$f(x)ge0$.

附参考答案：