动态规划|删除最少的元素-最长下降子序列

Posted 2021-02-05 fisherss

删除最少的元素

给定有 nn 个数的 AA 序列：A_1,A_2,A_3cdots A_nA?1??,A?2??,A?3???A?n??。对于这个序列，我们想得到一个子序列 A_{p_1}, A_{p_2} cdots A_{p_i} cdots A_{p_m}(1 le p_1 < p_2<cdots p_i < cdots < p_m le n)A?p?1????,A?p?2?????A?p?i?????A?p?m????(1≤p?1??<p?2??<?p?i??<?<p?m??≤n)，满足 A_{p_1} ge A_{p_2} ge cdots ge A_{p_i} le cdots le A_{p_m}A?p?1????≥A?p?2????≥?≥A?p?i????≤?≤A?p?m????。从 AA 序列最少删除多少元素，可以得到我们想要的子序列。

输入格式
第一行输入一个整数 nn，代表 AA 序列中数字的个数。第二个输入 nn 个整数，代表A_1,A_2,A_3...A_nA?1??,A?2??,A?3??...A?n??。

(1 leq n leq 10001≤n≤1000，1 leq A_i leq 100001≤A?i??≤10000)

输出格式
输出需要删除的元素个数，占一行。

样例输入
7
3 2 4 1 2 5 3
样例输出
2

思路：分别正序dp一次，倒序dp一次。dp正序[i]+dp逆序[i]-1的最小值即所求结果。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAX_N = 1010; 
int n;
int a[MAX_N];
int dp1[MAX_N];
int dp2[MAX_N];

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp1[i] = 1;
        for(int j=1;j<i;j++){
            if(a[j] >= a[i]){
                dp1[i] = max(dp1[i],dp1[j]+1);
            }
        }
    }
    
    for(int i=n;i>=1;i--){
        dp2[i] = 1;
        for(int j=n;j>i;j--){
            if(a[j] >= a[i]){
                dp2[i] = max(dp2[i],dp2[j]+1);
            }
        }
    }
    
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans = max(ans,dp1[i] + dp2[i] -1);
    }
    cout<<n-ans<<endl;
    return 0;
}