数论之中国剩余定理

Posted 2021-02-05 lzxzy-blog

中国剩余定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法，是数论中一个重要定理，又称孙子定理。

孙子定理

　　孙子定理主要用来求解模线性不定方程组。

　　对于方程组：

　　　　　　　　 x₀≡a₀(mod b₀)

　　　　　　　x₁≡a₁(mod b₁)

　　　　　　　x₂≡a₂(mod b₂)　

　　　　　　　.  .  .  

　　　　　　　x_n≡a_n(mod b_n)

　　设m=b₀*b₁*b₂*...*b_n，m_i=m/b_i

　　得到方程组

　　　　　　m_ix_i+b_iy_i=1

　　扩欧求解后，原模线性方程组的解为：

　　　　　　∑m_i*a_i*x_i  mod m

看代码吧：

 1 #include <cstdio>
 2 using namespace std;
 3 const int MAXN=10050;
 4 int n;
 5 int a[MAXN],b[MAXN];
 6 
 7 void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
 8 {
 9     if(a%b==0)
10     {
11         x=0;y=1;return ;
12     }
13     exgcd(b,a%b,x,y);
14     long long t=x;
15     x=y;y=t-a/b*y;
16 }
17 
18 long long China_Reminder(int n)
19 {
20     long long m=1,mi,res=0,x,y;
21     for(int i=1;i<=n;i++)m*=b[i];
22     for(int i=1;i<=n;i++)
23     {
24         mi=m/b[i];
25         exgcd(mi,b[i],x,y);
26         x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
27         res=(res+mi*a[i]*x%m)%m;
28     }
29     return (res+m)%m;
30 }
31 
32 int main()
33 {
34     scanf("%d",&n);
35     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d %d",&a[i],&b[i]);
36     printf("%lld
",China_Reminder(n));
37     return 0;
38 }

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