关于数论

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了关于数论相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

数论东西很多又很杂，所以想要总结一下，有一些算法的百度百科讲得很清楚，所以我就直接给了个链接在这（其实是懒23333），方便自己复习吧。

欧几里得算法

百度百科

辗转相除法求gcd与lcm

使用辗转相除算出gcd后，lcm可以直接通过gcd算出，但是注意求lcm的过程可能爆int，建议使用long long

inline int gcd(int a,int b){while(b^=a^=b^=a%=b);return a;}
inline long long lcm(int a,int b){return (long long)a/gcd(a,b)*b;}

扩展欧几里得算法

百度百科

int x,y;
inline int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y,y=t-a/b*y;
    return gcd;
}

应用：

  • 求不定方程：ax+by=c
  • 解模线性方程：ax≡m(mod b) 转化为ax+by=m,与不定方程求解方法相同。
  • 求解乘法逆元

这里多说几句逆元：

定义：存在ax≡1(mod p)，则称x是a关于模p的乘法逆元

定理：a关于p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p)=1

用途：(a/b)%p=(a*x)%p

Tip:mod 1的逆元就是1

例题HDU1576

在题目中,我们将B在模9973下的逆元设为x，求(A/B)%9973就可以化为(A×x)%9973，这样的话就可以通过模的性质变成A%9973×x%9973，而在题目中A%9973已经给出，那么只需要通过拓展欧几里得求出逆元之后就可以得到答案了

代码：

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
template<typename TP>inline void read(TP&x)
{
    x=0;int f=1;char c=getchar();
    while(c>‘9‘||c<‘0‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    x*=f;
}
template<typename TP>inline void print(TP x)
{
    if(x<0)x=-x,putchar(‘-‘);
    if(x>=10)print(x/10);
    putchar(x%10+‘0‘);
}
ll t,a,b,ans;
ll x,y;
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y,y=t-a/b*y;
    return gcd;
}
int main()
{
    read(t);
    while(t--)
    {
        read(a),read(b);
        exgcd(b,9973,x,y);
        x=((x%9973)+9973)%9973;
        print(a*x%9973),putchar(‘
‘);
    }
}

欧拉筛

利用了每个合数必有一个最小素因子，每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。

prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。

代码中体现在：
if(i%prime[j]==0)break;

就可以做到几乎是线性的时间复杂度就可以筛出素数

int prime[2000000],size;
bitset<2000000>flag;
inline void make_prime(int x)
{
    for(int i=2;i<=x;++i)
    {
        if(!flag[i]) prime[++size]=i;
        for(int j=1;j<=size&&prime[j]*i<=x;++j)
        {
            flag[prime[j]*i]=1;
            if(!(i%prime[j])) break;
        }
    }
}

费马平方和定理

内容如下：

除2以外，任何素数都能分成4k+1与4k+3的形式，任何形为4k+1的素数都能表示为两个平方数之和，而4k+3形式质数则不能

例题：CF113C double happiness

代码：

#include<cmath>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ri register int
#define rc register char
using namespace std;
template<typename TP>inline void read(TP&x)
{
    x=0;int f=1;char c=getchar();
    while(c>‘9‘||c<‘0‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    x*=f;
}
template<typename TP>inline void write(TP x)
{
    if(x==0){putchar(‘0‘);return;}
    char f[100]={0};int i=0;
    if(x<0){putchar(‘-‘),x=-x;}
    while(x){++i,f[i]=x%10+48;x/=10;}
    while(i){putchar(f[i]),--i;}
}
int prime[20000000],size;
bitset<300000005>flag;
int l,r,tot;
inline void make_prime(int x)
{
    for(register int i=2;i<=x;++i)
    {
        if(!flag[i]) prime[++size]=i;
        for(register int j=1;j<=size&&i*prime[j]<=x;++j)
        {
            flag[prime[j]*i]=1;
            if(!(i%prime[j])) break;
        }
    }
}
int main()
{
    read(l),read(r);
    make_prime(r);
    for(register int i=1;i<=size;++i)
    {
        if(prime[i]<l)continue;
        if(prime[i]%4==1)
            ++tot;
    }
    if(l<=2&&r>=2) ++tot;
    write(tot);
    return 0;
}

求欧拉函数

线性筛法

线性筛法证明，右转某大佬的csdn

int prime[2000000],eular[2000000],size;
bitset<2000000>flag;
inline void Eular(int x)
{
    eular[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;++i)
    {
        if(!flag[i]) prime[++size]=i,eular[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=size&&prime[j]*i<=x;++j)
        {
            flag[prime[j]*i]=1;
            if(!(i%prime[j]))
            {
                eular[prime[j]*i]=eular[i]*prime[j];
                break;
            }
            eular[prime[j]*i]=eular[i]*eular[prime[j]];
        }
    }
}

这个求单个欧拉函数的方法

通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)

其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

特殊：φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）

证明：（容斥原理）

p1,p2,p3...pk为n的质因子。

与n不互质的数的个数为:
n/p1+n/p2+...+n/pk-n/(p1p2)-...-n/(pk-1pk)-n/(p1p2p3)-...-n/(pk-2pk-1pk)-... +n/(p1p2...*pk)

所以与n互质的数的个数为：
φ(n)=n-[n/p1+n/p2+...+n/pk-n/(p1p2)-...-n/(pk-1pk)-n/(p1p2p3)-...-n/(pk-2pk-1pk)-... +n/(p1p2...*pk)]=n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk);

inline int eular(int n)
{
    int ret=n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ret=ret/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ret=ret/n*(n-1);
    return ret;
}

快速幂与慢速乘法

这两种算法都运用到了一些分治的思想，并且都为了防止溢出而运用到了模的定理进行步步求模

快速幂

inline long long Pow(long long x,long long y)
{
    long long ans=1;
    for(long long i=y;i;i>>=1)
    {
        if(i&1)ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
    }
    return ans%mod;
}

慢速乘法

inline long long Mul(long long x,long long y)
{
    long long ans=0;
    for(long long i=y;i;i>>=1)
    {
        if(i&1) ans=(ans+x)%mod;
        x=(x+x)%mod;
    }
    return ans%mod;
}

还有一种比较暴力的溢出式取模，我不知道稳定性怎样，但是试过一些数据都是对的，应该速度会快一些233333

inline long long Mul(long long a,long long b,long long mod)
{
    a%=mod,b%=mod;
    long long c=(long double)a*b/mod;
    long long ret=a*b-c*mod;
    if(ret<0) ret+=mod;
    else if(ret>=mod) ret-=mod;
    return ret;
}

也可以将快速幂与慢速乘法结合，解决更大的数据

inline long long Pow(long long x,long long y)
{
    long long ans=1;
    for(long long i=y;i;i>>=1)
    {
        if(i&1)ans=Mul(ans,x)%mod;
        x=Mul(x,x)%mod;
    }
    return ans%mod;
}

组合数学

百度文库

百度百科

错排公式

错排公式：F[n]=(n-1)*(F[n-1]+F[n-2])

证明：

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

F(n) = (n-1)[F(n-2)+F(n-1)]

特殊地，F(1) = 0, F(2) = 1.

模板题：HDU1465

代码：

#include<cstdio>
#define ll long long
#define ri register int
using namespace std;
ll a,hhh[21];
int main()
{
    hhh[1]=0,hhh[2]=1,hhh[3]=2;
    for(ri i=4;i<=20;++i)
        hhh[i]=(i-1)*(hhh[i-1]+hhh[i-2]);
    while(~scanf("%lld",&a))
        printf("%lld
",hhh[a]);
    return 0;
}

中国剩余定理

百度百科

模板

LL prime[2333],remain[2333];
LL x,y;
inline LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL t=x;x=y,y=t-a/b*y;
    return gcd;
}
inline LL crt()
{
    LL m=1,ans=0;
    for(ri i=1;i<=3;++i)
        m*=prime[i];
    for(ri i=1;i<=3;++i)
    {
        LL temp=m/prime[i];
        exgcd(prime[i],temp,x,y);
        ans=(ans+y*temp*remain[i])%m;
    }
    return (ans+m)%m;
}

扩展中国剩余定理

题目P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

代码：

#include<cstdio>
#define ll long long
#define ri register int
#define rll register long long
template<typename TP>inline void read(TP&x)
{
    x=0;int f=1;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
    x*=f;
}
//********快读快输******** 
inline ll Mul(ll x,ll y,ll mod)//慢速乘法避免溢出 
{
    ll ans=0;
    for(rll i=y;i;i>>=1)
    {
        if(i&1)ans=(ans+x)%mod;
        x=(x+x)%mod;
    }
    return ans%mod;
}
ll n,x,y,ans,m;
ll prime[233333],remain[233333];
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧拉定理 
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y,y=t-a/b*y;
    return gcd;
}
inline void excrt()
{
    m=prime[1],ans=remain[1];
    for(ri i=2;i<=n;++i)
    {
        ll temp=((remain[i]-ans)%prime[i]+prime[i])%prime[i];
        ll gcd=exgcd(m,prime[i],x,y);
        x=Mul(x,temp/gcd,prime[i]);
        ans+=m*x;
        m*=prime[i]/gcd;
        ans=(ans+m)%m;
    }
    printf("%lld",ans);
}
int main()
{
    read(n);
    for(ri i=1;i<=n;++i)
        read(prime[i]),read(remain[i]);//输入模数与余数 
    excrt();
    return 0;
}

这里是关于数论的洛谷日报整理：

中国剩余定理

逆元

博弈论

狄利克雷卷积与莫比乌斯反演

组合




以上是关于关于数论的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

关于数论

关于数论

关于数论的一些总结

关于数论莫比乌斯反演

关于片段生命周期

关于数论polya计数法