splay学习小记[未完结]

Posted 2021-02-05 mastervan

splay现在早就没人用啦

splay啊，是一种优（la）美（ji）的数据结构

它的操作主要就是Splay伸展操作

但是在讲splay操作之前，我们得讲一下旋转

旋转操作

如果学过treap可以考虑跳过

你先不用管为什么要旋转，如果你有耐心看完就会知道了

首先，splay是一棵二叉查找树（Binary Search Tree简称BST），它的节点必须满足：

左儿子小于它，右儿子大于它

（以上讨论的是权值）（Tips：不一定严格按照这样的规则，有时候从方便角度会写成小于等于等）

那么我们的旋转是什么呢？要把儿子旋转到父亲的位置且不破坏BST的结构。

那我们先考虑左儿子转上去吧：

左儿子的值比父亲小，那么这说明转上去以后，父亲是左儿子的右儿子（画图理解一下吧）

那么左儿子的右儿子怎么办呢？可以得出左儿子<右儿子<父亲，那么左儿子的右儿子应该变成父亲的左儿子

（上演真实伦理大戏）

同理，右儿子也是类似的，你可以把上面的图箭头反过来

伸展操作

首先，为什么要进行伸展操作呢？

因为BST在更新和修改中会变得非常丑陋，如：

 

也就是说，树有可能会退化成链或者树的结构不优美

为了应对这个，我们需要有意识的对树进行旋转

在treap中我们用堆的性质来决定是否旋转，而在splay中，我们用的就是伸展操作

在伸展操作中，我们要做的是将当前节点旋转至成为目标节点的儿子（特殊的，当目标节点为0时，结束旋转后，当前节点是根）

一次伸展操作（我觉得叫冲程）分为两次旋转（注意操作是一次，过程才是全部）

对于这两次旋转，我们需要分类讨论：

1、正常旋转两次x（将x提到其祖父的位置）

2、当父亲和儿子在同一边时，先旋转父亲，再旋转儿子

这个同一边是什么操作？

假设父亲是祖父的右儿子，儿子也是父亲的右儿子，那么它们在同一边

为什么呢？请看图

 

我们发现如果正常旋转则会形成链，那么按照讨论的方法旋转呢？

 

那就XXXX了

3、当祖父已经是目标节点时，只旋转一次，然后结束

这个不用解释吧

通过伸展操作，我们可以进行非常多很捞的操作，因为伸展前后其都满足BST性质，可以通过这个圈出要修改的区间啥的

求前驱后继

非常简单，将要求的点旋至根后往左节点走一步，一直往右到不能走为止即可（显然）

--上面讲的是前驱

以下是区间操作，我是丑陋的分割线

splay的区间操作都是基于这样一个基础上的：

将排名l-1的节点伸展至根节点，排名r+1的节点伸展至根节点的右儿子处

这样r+1节点的左儿子就是l~r的区间了

翻转操作

首先逐层翻转是正确的，有兴趣可以自查证明

和线段树非常相似，具体就是要打上懒惰标记（不过由于翻转是可以相互抵消的，所以可以位运算a^1或者!a）

然后重点就是要在每次改变树的结构的操作之前下传标记

插入多个数据操作

有两种做法，不过操作1比较捞

1、一个一个插入啊

2、将这几个数据再建一棵小的splay，然后将需要操作的区间旋至根，需要操作的区间的前驱旋至根的右儿子

最后把要插入的数据建的树的树根接到前驱的左儿子处即可

（这是在某个元素后插入数据的操作）