其他-pkuwc2019数学考试题目

Posted 2021-02-05 penth

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十道填空题，在poj上举行，选手提交答案，系统将答案自动填入一个作用是输出答案的程序，再将该程序提交评测（由于该程序变量名为longlong，所以选手可以从此得知答案的范围为longlong储存的范围整数）

以下是题目：

• 1：一棵顶点有标号的(8)个节点的树，要求其中有两个点度数为(3)，两个点度数为(2)，其余点度数为(1)，问有多少不同的满足条件的树（两棵树不同当且仅当存在两个编号，两编号之间是否有边的情况在两棵树中不同）
• 2：给定单位正方体，每次只能走棱和面对角线，要求路径不自交（包括不能在点和线处相交），问从正方体的一个点走到体对角线所对应的另一个点，路径最长可以多长（答案简化为(a+sqrt b)，要求输出(a+b)）
• 3：给定梯形(ABCD)，(AB)与(CD)平行，一个半径为(r)的圆圆心在(AB)上，并与(BC,CD,AD)相切，(AB=200,CD=50,r=49)，问(ADcdot BC)
• 4：定义({F_i})为斐波那契数列，其中(F_1=F_2=1)，问(prod_{i=1}^{20192019}F_i)分解质因数后(2)的幂
• 5：在一个(15 imes 15)的方格中放置(15)个車，定义一种放置方案的权值为所有車中横纵坐标乘积最小值，问所有情况的期望权值（答案可以简化为(frac ab)，输出(a+b)）
• 6：一个(20182018 imes 20182018)的方格，其中前(10091009)行中，第(i)行删去中间(2(i-1))个格子，后(10091009)行中，倒数第(i)行删去中间(2(i-1))个格子，用(1 imes 2)的多米诺骨牌覆盖这些方格（骨牌可以旋转），要求骨牌不能放在删去位置，问最多能放多少骨牌
• 7：定义数字集合({A})的权值为：取出集合中最小的数设为(a)，集合中第(a)小的数，若集合大小小于(a)，则权值为零。问从集合({1,2,cdots,2019})中任意取(1643)元子集的权值期望（输出方法同(5)）
• 8：定义(k)为“好的”，当且仅当对于所有的正整数(n)，若(n)能被分解成(k)个因数的平方和，则一定能被拆分为(k)个因数的和。问共有多少个“好的”的数，若有无穷个输出(-1)
• 9：在圆上划分(2019)等分点，不断在两个点之间连边，每次要求连的边与之前的边相交不超过一次，问最多能连多少边
• 10：定义(n)为“好的”，当且仅当集合(A={1,2,cdots,n})能被划分为两种颜色，是的恰好有(2019)对有序三元组((a,b,c)in A imes A imes A)满足(a,b,c)都是一种颜色，且(n|(x+y+z))。问所有“好的”的数之和