同余定理数论

Posted 2021-02-05 donke

两种解释？道理一样。

1、

两个整数，a,b,如果他们同时除以一个自然数m，所得的余数相同，则称a,b对于模m同余。。记作a≡b（mod.m）。

//？？？？？

2、

给定一个正整数m，如果两个整数a，b满足(a-b)能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么称整数a和b对模m同余。记作a≡b(mod m)。

性    质：反身性、对称性、传递性等。

参考百度百科：

1.反身性：a≡a (mod m)；

2.对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)；

3.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；

4.同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a

c≡b

d(mod m)；

5.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。

证明：

∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),

∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).

故a≡c(mod m).

6.线性运算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)；

(2)a * c ≡ b * d (mod m)。

证明：

(1)∵a≡b(mod m),

∴m|(a-b)

同理 m|(c-d)

∴m|[(a-b)±(c-d)]

∴m|[(a±c)-(b±d)]

∴a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)

又 m|(a-b) , m|(c-d)

∴m|(ac-bd)

∴a * c ≡ b * d (mod m)

7.除法：若

，则

，其中gcd(c,m)表示c和m的最大公约数，

特殊地，

则

；

8.幂运算：如果

，那么

；

9.若

，n=m，则

；

10.若

，(i=1,2...n) 则

，其中

表示m₁,m₂,...m_n的最小公倍数。