bzoj4520cqoi2016K远点对

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj4520cqoi2016K远点对相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

题目描述

已知平面内 N 个点的坐标,求欧氏距离下的第 K 远点对。


输入格式

输入文件第一行为用空格隔开的两个整数 N, K。接下来 N 行,每行两个整数 X,Y,表示一个点
的坐标。1 < =  N < =  100000, 1 < =  K < =  100, K < =  N*(N−1)/2 , 0 < =  X, Y < 2^31。

输出格式

输出文件第一行为一个整数,表示第 K 远点对的距离的平方(一定是个整数)。


 

  • 题解:

    • 注意只需要保证最大的k个值都被找到就可以确定答案了;
    • 旋转卡壳做法:
    • 平面最近点对可以通过求出凸包之后(特判一下一条直线)卡壳得到;
    • 这样求$min(n-1,k)$次最远点对;
    • 每求一次,就将求出的点对删掉,将和它们相关的距离放进小顶堆中,多于$k$个就丢掉最小值;
    • 答案就是堆顶;
    • 当做到最远距离已经<=堆顶时就可以break了;
    • 复杂度:$O(NlogN+NKlogK)$
  • 技术分享图片
     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 #define ll long long 
     3 using namespace std;
     4 const int N=100010; 
     5 int n,m,WD,mn[N][2],mx[N][2],ch[N][2],rt;
     6 struct P{
     7     int x,y;
     8     P(int _x=0,int _y=0):x(_x),y(_y){};
     9     P operator -(const P&a)const{return P(x-a.x,y-a.y);}
    10     bool operator <(const P&a)const{return WD?y<a.y:x<a.x;}
    11 }p[N],q;
    12 priority_queue<ll,vector<ll>,greater<ll> >ans;
    13 ll len(P a){return (ll)a.x*a.x+(ll)a.y*a.y;} 
    14 void build(int&k,int l,int r,int d){
    15     k=(l+r)>>1;
    16     WD=d;nth_element(p+l,p+k,p+r+1);
    17     mn[k][0]=mx[k][0]=p[k].x;
    18     mn[k][1]=mx[k][1]=p[k].y;
    19     if(l<k){build(ch[k][0],l,k-1,d^1);}
    20     if(k<r){build(ch[k][1],k+1,r,d^1);}
    21     for(int i=0;i<2;++i)if(ch[k][i]){
    22         int t = ch[k][i];
    23         mn[k][0]=min(mn[t][0],mn[k][0]);
    24         mn[k][1]=min(mn[t][1],mn[k][1]);
    25         mx[k][0]=max(mx[t][0],mx[k][0]);
    26         mx[k][1]=max(mx[t][1],mx[k][1]);
    27     }
    28 }
    29 inline ll sqr(int x){return (ll)x*x;}
    30 inline ll cal(int k){
    31     if(!k)return 0;
    32     return max(sqr(q.x-mn[k][0]),sqr(q.x-mx[k][0])) + max(sqr(q.y-mn[k][1]),sqr(q.y-mx[k][1])) ;
    33 }
    34 void query(int k){
    35     ll tmp = len(p[k]-q);
    36 //    printf("%lld
    ",tmp);
    37     if(tmp>ans.top())ans.pop(),ans.push(tmp);
    38     ll tl = cal(ch[k][0]), tr = cal(ch[k][1]);
    39     if(tl>tr){
    40         if(tl>ans.top())query(ch[k][0]);
    41         if(tr>ans.top())query(ch[k][1]);
    42     }else{
    43         if(tr>ans.top())query(ch[k][1]);
    44         if(tl>ans.top())query(ch[k][0]);
    45     }
    46 }
    47 int main(){
    48     #ifndef ONLINE_JUDGE
    49     freopen("T2.in","r",stdin);
    50     freopen("T2.out","w",stdout);
    51     #endif
    52     scanf("%d%d",&n,&m);
    53     for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
    54     for(int i=1;i<=m*2;++i)ans.push(0);
    55     build(rt,1,n,0);
    56     for(int i=1;i<=n;++i){q=p[i];query(rt);}
    57     cout<<ans.top()<<endl;
    58     return 0;
    59 }
    bzoj4520(kdt)

    • $k-d tree$做法
    • 同样$k-d$可以支持查找最远点对,精髓在于$kdtree$估价函数的剪枝;
    • 对每个点找一次最远点对,同样放进小顶堆维护;
    • 如果堆大小达到$2*k$(因为此时的点对有序);
    • 答案就是堆顶;
    • 同样<=堆顶的值就对答案无影响了,直接用$kdtree$的估值函数减掉;
    • 复杂度似乎比较玄。。。$O(N + Nsqrt{N}logK)$
  • 技术分享图片
     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 #define ll long long
     3 using namespace std;
     4 const int N=100010;
     5 int n,k,vis[N],id[N];
     6 priority_queue<ll,vector<ll>,greater<ll> >ans;
     7 char gc(){
     8     static char*p1,*p2,s[1000000];
     9     if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    10     return(p1==p2)?EOF:*p1++;
    11 } 
    12 int rd(){
    13     int x=0; char c=gc();
    14     while(c<0||c>9)c=gc();
    15     while(c>=0&&c<=9)x=(x<<1)+(x<<3)+c-0,c=gc();
    16     return x;
    17 }
    18 struct P{
    19     int x,y;
    20     P(int _x=0,int _y=0):x(_x),y(_y){};
    21     P operator -(const P&a)const{return P(x-a.x,y-a.y);}
    22     bool operator <(const P&a)const{return x==a.x?y<a.y:x<a.x;}
    23 }p[N],q[N];
    24 inline ll len(P a){return (ll)a.x*a.x+(ll)a.y*a.y;}
    25 inline ll crs(P a,P b){return (ll)a.x*b.y-(ll)a.y*b.x;}
    26 void ins(ll x){
    27     if((int)ans.size()<k)ans.push(x);
    28     else {
    29         if(x<=ans.top())return;    
    30         ans.pop();ans.push(x);
    31     }
    32 }
    33 bool solve(){
    34     int top=1,i;
    35     i=1;while(vis[i])++i;
    36     q[top=1]=p[i];id[top]=i;
    37     for(++i;i<=n;++i)if(!vis[i]){
    38         while(top>1&&crs(q[top]-q[top-1],p[i]-q[top])<=0)top--;
    39         q[++top]=p[i],id[top]=i;
    40     }
    41     int now=top;
    42     i=n;while(vis[i])--i;
    43     for(--i;i;--i)if(!vis[i]){
    44         while(top>now&&crs(q[top]-q[top-1],p[i]-q[top])<=0)top--;
    45         q[++top]=p[i],id[top]=i;
    46     }
    47     top--;
    48     if(top==2){
    49         vis[id[1]]=vis[id[2]]=1;
    50         ins(len(q[1]-q[2]));
    51     } 
    52     int x = 2;ll mx=-1,pos1,pos2;
    53     for(i=1;i<=top;++i){
    54         P A = q[i%top+1]-q[i];
    55         while(x!=i&&crs(A,q[x%top+1]-q[x])>0)x=x%top+1;
    56         ll t = len(q[x]-q[i]);
    57         if(t>mx)mx=t,pos1=id[i],pos2=id[x];
    58     }
    59     if(len(p[pos1]-p[pos2])<=ans.top())return false;
    60     for(i=1;i<=n;++i)if(!vis[i]&&i!=pos1){
    61         ins(len(p[i]-p[pos1]));
    62     }
    63     for(i=1;i<=n;++i)if(!vis[i]&&i!=pos1&&i!=pos2){
    64         ins(len(p[i]-p[pos2]));
    65     }
    66     vis[pos1]=vis[pos2]=1;
    67     return true;
    68 }
    69 int main(){
    70     freopen("T2.in","r",stdin);
    71     freopen("T2.out","w",stdout);
    72     n=rd(),k=rd();
    73     for(int i=1;i<=n;++i)p[i].x=rd(),p[i].y=rd();
    74     sort(p+1,p+n+1);
    75     for(int i=1;i<=k;++i)ans.push(0);
    76     for(int i=1;i<=min(k,n-1);++i)if(!solve())break;
    77     cout<<ans.top()<<endl;
    78     return 0;
    79 }
    bzoj4520(旋卡)

     

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