2019寒假集训DAY2图论

Posted 2021-02-05 songjian-jiansong

Dijkstra

• 条件：无负权；时间：O(n*n)
• 详解+模板： https://www.cnblogs.com/jason2003/p/7222182.html
• （模板）P1821 [USACO07FEB]银牛派对Silver Cow Party：https://www.luogu.org/recordnew/show/12339877

• void dj(){
      for(int i=1;i<=m;i++)
        if(i!=k)dis[i]=M;
  
      for(int i=1;i<=m;i++){
          int min=M;
          for(int j=1;j<=m;j++)
            if(b[j]==0&&dis[j]<min){
              min=dis[j];
              t=j;
            }
          b[t]=1;
          if(t==s)return;
          for(int j=1;j<=m;j++)
            if(b[j]==0&&a[t][j]>0&&dis[j]>dis[t]+a[t][j]){
              dis[j]=dis[t]+a[t][j];
            }
      }
  }

• 步骤：

1. dis[i]记录到源点距离; vis[i]判断被标记否；a[u][v]=w;
2. 初始化：源点为0，其他点inf
3. 选择并标记k点：选择未被标记的k点，d[k]最小；vis[k]=1;
4. 修改其他未标记、过k点点j到源点距离：vis[j]=0&&a[u][v]>0&&dis[j]>dis[k]+a[k][j];

• 堆优化

Floyd

• 条件：无负环；时间：O(n*n*n)；DP思想
• （模板）P1346 电车：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1346
  
  
• 模板

1. 初始化：s[i][i]=0;s[i][j]读入;（根据题可能有改动，电车就设为要下车改变路线则=1，不用=0）
2. 三层循环，k在最外层；s[i][j]>s[i][k]+s[k][j]

for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i!=j) s[i][j]=M; 
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>x;
        for(int j=1;j<=x;j++){
            cin>>y;
            if(j==1) s[i][y]=0;
            else s[i][y]=1;
        }
    }
    
    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(s[i][j]>s[i][k]+s[k][j]){
                    s[i][j]=s[i][k]+s[k][j];
                }
            }
        }
    }

• Floyd求最小环

1. #10072. 「一本通 3.2 例 1」Sightseeing Trip：https://loj.ac/problem/10072

2. 附STL中vector用法：vector<ll>path; path.clear();path.push_back(i);path.size()path[i]
3. 附memcpy用法：memcpy(mp,dist,sizeof(dist));
4. 附代码

   #include <bits/stdc++.h>
   #define ll long long
   #define inf 0x3f3f3f3f
   using namespace std;
   ll n,m,dist[200][200],mp[200][200],huan[200][200],x,y,z,len=inf;
   vector<ll>path;
   void get(ll x,ll y){
       if(huan[x][y]==0)return;
       get(x,huan[x][y]);
       path.push_back(huan[x][y]);
       get(huan[x][y],y);
   }
   int main()
   {
       cin>>n>>m;
       memset(dist,inf,sizeof(dist));
       for(ll i=1;i<=n;i++)dist[i][i]=0;
       for(ll i=1;i<=m;i++){
           cin>>x>>y>>z;
           dist[x][y]=dist[y][x]=min(dist[x][y],z);
       }
       memcpy(mp,dist,sizeof(dist));
       for(ll k=1;k<=n;k++){
           for(ll i=1;i<k;i++){
               for(ll j=i+1;j<k;j++){
                   if(len>dist[i][j]+mp[i][k]+mp[k][j]){
                       len=dist[i][j]+mp[i][k]+mp[k][j];
                       path.clear();
                       path.push_back(i);
                       get(i,j);
                       path.push_back(j);
                       path.push_back(k);
                   }
               }
           }
           for(ll i=1;i<=n;i++){
               for(ll j=1;j<=n;j++){
                   if(dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j]){
                       dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
                       huan[i][j]=huan[j][i]=k;
                   }
               }
           }
       }
       //先更新最小环再更新最短路：否则dist[i][j]会改变 
       //无向图对称性:j从i+1开始
       //i、j<k：https://www.cnblogs.com/zzqc/p/6855913.html 
       if(len==inf)cout<<"No solution.";
       else{
           for(ll i=0;i<path.size();i++)
           {
               cout<<path[i]<<" ";
           }
       }
       return 0;
   }

   5.附有向环：https://vijos.org/p/1423； 代码（直接跑floyd）：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   #define ll long long
   #define inf 0x3f3f3f3f
   int n,m,e[210][210],w[210];
   int main(){
       cin>>n>>m;
       memset(e,inf,sizeof(e));
       for(ll i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
       for(ll i=1;i<=m;i++){
           int x,y,z;
           cin>>x>>y>>z;
           e[x][y]=min(e[x][y],z+w[x]);
       }
       for(ll k=1;k<=n;k++){
           for(ll i=1;i<=n;i++){
               for(ll j=1;j<=n;j++){
                   e[i][j]=min(e[i][j],e[i][k]+e[k][j]);
               }
           }
       }
       if(e[1][1]==inf)cout<<"-1";
       else cout<<e[1][1];
       return 0;
   }