算法分析基础——递归树求解递推方程
Posted jeffrey-y
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了算法分析基础——递归树求解递推方程相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
从求解快速排序算法递推方程的过程中,我们可以看到,递推方程不能求出精确的解。即便如此,如果可以用某种方法估算出函数的阶,那么这对于算法分析的工作依然具有意义。本文即介绍了这样一种估算方法,称为递归树。
递归树是一棵结点带权的二叉树。它是迭代计算的一种模型,也是其图形表示。其生成过程与迭代过程是一致的,且树上所有项恰好是迭代之后产生的和式的项。因此,对递归树上的项求和就是迭代后方程的解。运用递归树来估算递推方程的解,可以使求解过程简洁、清晰。下面我们来具体了解递归树的生成规则,并通过几项例子理解递归树的运用。
一、递归树的生成
递归树的生成规则如下:
- 初始时,只有根节点,权标记为W(n)
- 不断进行如下迭代:将函数项叶结点的迭代式W(m)表示成二层子树(如图1),用该子树替换叶结点。
- 继续递归树的生成,直到树中没有函数项(树叶都变为W(1))为止。
从递归树的生成过程不难看出,整个迭代过程中,递归树中全部结点的权之和不变,总是等于W(n)。为计算最终所有结点权值之和,可以采用分层计算的方法。
二、递归树的计算
例 求解递推方程T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n
在这项例子中,方程右部的两项不一样,无法合并。使用迭代法归纳求解不是很方便,而用递归树的方法则更加直观。
首先生成递归树如图2所示。
设树的层数为k,则n * (2 / 3)k = 1,解得k = log3/2n。另一方面,每层结点的数值之和都是O(n),因此T(n) = O(nlog3/2n) = O(nlogn)。
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