麻省理工公开课：线性代数 第2课 矩阵消元

Posted 2021-02-05 hg-love-dfc

参考资料：

网易公开课：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公开课：线性代数

假设求解：

$x+2y+z=2$

$3x+8y+z=12$

$4y+z=2$

一、消元

1. 矩阵形式$Amathbf{x}=b$：

 2. 消元过程如下：

矩阵[A b]为增广矩阵，得到的主元（pivot）分别为$1, 2, 5$，矩阵$A$的行列式为主元的乘积；

3. 回代求解

 消元后的等式为$Umathbf{x}=c$

$x+2y+z=2$

$2y-2z=6$

$2z=-10$

求解得：$z=-2, y=1, x=2$

4. 行变换的矩阵表示（第1、3行不变，第2行减去第1行的3倍）：初等矩阵$E_{21}、E_{32}$

所以，可以得到：$$E_{32}E_{21}Amathbf{x}=EAmathbf{x}=Umathbf{x}$$

注：

• 矩阵左乘列向量$Amathbf{x}$：结果为列向量，应理解为矩阵各列向量的线性组合
• 矩阵右乘行向量$mathbf{y}A$：结果为行向量，应理解为矩阵各行向量的线性组合

5. 置换矩阵P（左乘$PA$交换行，右乘$AP$交换列）