线性代数导论向量介绍

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线性代数导论向量介绍相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

参考资料:《Introduction to linear algebra》4th edition by Gilbert Strang

网易公开课:http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html  麻省理工公开课:线性代数

思考:

(一)相似矩阵是同一个线性变换的不同描述矩阵

(二)对象的变换等价于坐标系的变换(运动是相对的),如对于变换$Ma=b$,可以看作$Ma=Ib$,坐标系$M$和$I$类似于环境声明,$a$和$b$为相应坐标系下的坐标向量;求解上述变换可得$Ia=IM^{-1}b$,当坐标系声明均为$I$时,可得$a=M^{-1}b$

 

1. 线性组合:向量加法和标量乘法的组合

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其中,$c,d$为标量,$mathcal{v},mathcal{w}$为向量

2. 向量点积/内积:对应元素相乘后相加

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(1)点积为0,则表示两个向量相互垂直($cos heta=0$,夹角为90度

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(2)向量的长度:向量与自身点积的平方根

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(3)单位向量的长度为1,可以通过非零向量与自身长度相除得到

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(4)两个单位向量的点积即为夹角的余弦值(夹角小于90度为正,夹角大于90度为负)

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例如,当$mathcal{u}$为单位旋转向量$(cos heta, sin heta)$,$mathcal{i}$为单位向量$(1,0)$时,$ucdot i=cos heta$;同时旋转$alpha$,即$eta= heta+alpha$,点积为$cosalpha+coseta+sinalpha+sineta=cos(eta-alpha)=cos heta$

(5)当向量不是单位向量时,相应的余弦定理如下:

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由于$|cos heta|leq 1$,可以得到施瓦茨不等式(内积的绝对值不超过长度的乘积)三角不等式(两边之和大于第三边)如下:

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注:三角不等式的证明如下

$$parallelmathcal{v}+mathcal{w}parallel^{2} = parallelmathcal{v}parallel^{2} + 2mathcal{v}mathcal{w} + parallelmathcal{w}parallel^{2} leq parallelmathcal{v}parallel^{2} + 2parallelmathcal{v}parallelparallelmathcal{w}parallel + parallelmathcal{w}parallel^{2} =  (parallelmathcal{v}parallel + parallelmathcal{w}parallel)^{2}$$

当$mathcal{v}=(a,b)$,$mathcal{w}=(b,a)$时,施瓦茨不等式为:$2ableq a^2+b^2$;令$x=a^2, y=b^2$,可以得到几何均值$sqrt{xy}$小于算数均值$frac{1}{2}(x+y)$的结论:

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 3. 矩阵和向量的乘积可以看作是矩阵各列的线性组合

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4. 向量线性无关和线性相关

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线性相关的$n*n$方阵不可逆

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以上是关于线性代数导论向量介绍的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

线性代数导论 [个人向]

线性代数导论35——线性代数全总结(麻省理工公开课:线性代数)

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