线性代数导论向量介绍

Posted 2021-02-05 hg-love-dfc

参考资料：《Introduction to linear algebra》4th edition by Gilbert Strang

网易公开课：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公开课：线性代数

思考：

（一）相似矩阵是同一个线性变换的不同描述矩阵

（二）对象的变换等价于坐标系的变换（运动是相对的），如对于变换$Ma=b$，可以看作$Ma=Ib$，坐标系$M$和$I$类似于环境声明，$a$和$b$为相应坐标系下的坐标向量；求解上述变换可得$Ia=IM^{-1}b$，当坐标系声明均为$I$时，可得$a=M^{-1}b$

 

1. 线性组合：向量加法和标量乘法的组合

其中，$c,d$为标量，$mathcal{v},mathcal{w}$为向量

2. 向量点积/内积：对应元素相乘后相加

（1）点积为0，则表示两个向量相互垂直（$cos heta=0$，夹角为90度）

（2）向量的长度：向量与自身点积的平方根

（3）单位向量的长度为1，可以通过非零向量与自身长度相除得到

（4）两个单位向量的点积即为夹角的余弦值（夹角小于90度为正，夹角大于90度为负）

例如，当$mathcal{u}$为单位旋转向量$(cos heta, sin heta)$，$mathcal{i}$为单位向量$(1,0)$时，$ucdot i=cos heta$；同时旋转$alpha$，即$eta= heta+alpha$，点积为$cosalpha+coseta+sinalpha+sineta=cos(eta-alpha)=cos heta$

（5）当向量不是单位向量时，相应的余弦定理如下：

由于$|cos heta|leq 1$，可以得到施瓦茨不等式（内积的绝对值不超过长度的乘积）和三角不等式（两边之和大于第三边）如下：

注：三角不等式的证明如下

$$parallelmathcal{v}+mathcal{w}parallel^{2} = parallelmathcal{v}parallel^{2} + 2mathcal{v}mathcal{w} + parallelmathcal{w}parallel^{2} leq parallelmathcal{v}parallel^{2} + 2parallelmathcal{v}parallelparallelmathcal{w}parallel + parallelmathcal{w}parallel^{2} =  (parallelmathcal{v}parallel + parallelmathcal{w}parallel)^{2}$$

当$mathcal{v}=(a,b)$，$mathcal{w}=(b,a)$时，施瓦茨不等式为：$2ableq a^2+b^2$；令$x=a^2, y=b^2$，可以得到几何均值$sqrt{xy}$小于算数均值$frac{1}{2}(x+y)$的结论：

 3. 矩阵和向量的乘积可以看作是矩阵各列的线性组合

4. 向量线性无关和线性相关

线性相关的$n*n$方阵不可逆