知识汇总

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设 $a, b\in\mathbb R$,则有
\[
|a+b| + |a-b| = 2\max(|a|, |b|)
\]

证明

  1. $a,b$ 同号($0$ 可以认为是正的,也可以认为是负的,下同),则
    \begin{align*}
    |a+b| &= |a| + |b| = \max(|a| + |b|) + \min(|a| + |b|) \\
    |a - b| &= \max(|a|, |b|) - \min(|a|, |b|) \\
    |a+b| + |a-b| &= 2\max(|a|, |b|)
    \end{align*}
  2. $a,b$ 异号,则
    \[
    |a+b| = \max(|a|, |b|) - \min(|a|, |b|) \\
    |a - b| = |a| + |b| = \max(|a|, |b|) + \min(|a|, |b|) \\
    |a+b| + |a-b| = 2\max(|a|, |b|)
    \]

这个结论的用法。一般是反过来用,即用
\begin{euqation*}
\max(|a|,|b|) = \frac12 (|a+b| + |a - b|)
\end{equation*}
根据需要,将形如 $\max(|a|, |b|)$ 的表达式中的 $\max$ 算符去掉,方便进一步的处理。

由于 $|a| + |b| = \max(|a|, |b|) + \min(|a|, |b|)$,我们还有
\begin{align*}
\min(|a|,|b|) &= |a| + |b| - \max(|a|, |b|) \\
&= |a| + |b| - \frac12 (|a+b| + |a - b|)
\end{align*}

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