DP常用优化

Posted 2021-02-04 grannychan

DP常用优化

一.前缀和优化

　　当遇到类似：(f[i] = sum_{j = k}^{i} g[j])的转移时，可以通过预处理出(g[i])的前缀和(s[i])，将(O(n))的求和转换为(O(1)?)的操作。

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二.决策单调性——单调队列优化

　　接下来几种优化方法主要是对1d/1d dp的优化，其中xd/yd dp指的是状态数有(n^x)种，每个状态的转移有(n^y)种的dp。对于1d/1d dp，我们可以写出其转移的通式：(f[i] = min/max{f[j] + w(i, j)})，其暴力转移是(O(n^2))级别的，我们希望能够通过式子的某些特殊性来优化转移。

　　接下来我们会考察三种式子，第一种式子形如：

[ f[i] = min_{j = i - d}^{i - 1}{f[j] + w(j) + w(i)} ]
　　我们可以看到这一类式子的特点：

1.对于i的转移，其决策点是一段连续的区间，并且这个区间随着i的右移而单调右移。

2.每次转移的代价(w(i,j)?)中，i与j的花费相互独立。

　　那么，首先考察两个决策(j)与(k)((j<k))，如果决策(k)优于(j)，那么对于决策(i‘)((i‘>i))，从(k)转移一定更优，(j)一定不再会成为最优决策。也就是说，我们的决策是单调的，我们称这样的方程满足决策单调性。那么，我们只需要维护一个单调队列，维护队列中的决策单增/单减，对于转移(i)，首先检查队头元素是否还属于合法的转移区间([i - d, i - 1])，如果不合法则pop_front()。由于单调队列的单调性，此时的队头就是最优决策，进行转移。接着，更新决策区间，维护单调性，将新的决策点从队尾加入单调队列。

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　　关于单调队列优化有一个非常经典的算法——单调队列优化多重背包：

　　首先我们知道多重背包的方程：(f[i][j] = max{f[i -1][j], f[i - 1][j - k * w[i]] + c[i] *k})。我们单独关注后面的部分，多重背包复杂度(O(nmk))就在于最后枚举每件物品的个数，如果用二进制拆分可以将复杂度优化到(O(nmlogk))。但是，如果我们想要进一步提高效率，我们就会用到单调队列优化多重背包。

　　首先，我们把式子改写成可以单调队列优化的形式：首先，对于重量为(w)，价值为(c)的物品，令(j=nw+p)，则原方程可以写成(f[i][j] = max{f[i -1][j], f[i - 1][p + k * w[i]] - c[i] *k+ c[i] * n}, p in[0,w])，这个式子已经被调整为单调队列优化的式子了，对于每个物品先枚举mod w后的余数，在单调队列里维护(f[i - 1][p + k * w[i]] - c[i] *k)递增即可。

宝物筛选 单调队列优化多重背包

三.决策单调性——斜率优化

　　考察的第二种式子形如：
[ f[i] = min{f[j] + w(i,j)} ]
　　且要求这一类式子具有以下特点：

1.w(i,j)展开后能得到关于(i、j)的乘积项，经过调整能够化成形如(frac{y1-y2}{x1-x2})的斜率式

2.具有决策单调性

1.几何解释

　　那么首先来考虑一个一般性的方程(f[i] = min{a[i] imes b[j] + c[i] + d[j]}（a,b,c,d >0且b单增）)，其中(a[i] imes b[j])就是我们所说的关于(i,j)的乘积项。对于状态(i)我们考察他的决策，那么我们可以先把方程化为以(j)的相关项为自/因变量，即：
[ -d[j] = a[i] imes b[j] + c[i] - f[i] ]
　　我们将这个式子对应回直线的斜截式(y=kx+b?)有(y=-d[j], x = b[j], k = a[i], b = c[i] -f[i]?)，我们希望最小化(f[i]?)，那么也就是要最大化(b?)，由于斜率(k?)是一定的，那么我们考虑进行线性规划，将每个决策(j?)对应到座标系上，直线与这些决策点形成的凸包相切时可以取到(b?)的最值，由于我们要的是(b?)的最大值且(k=a[i]>0?)，那么直线要和凸包上切，换言之，我们只需要维护这些决策点形成一个下凸包即可。

　　接下来考虑如何维护这个上凸包，凸包斜率单调减，那么我们依然可以用单调队列维护，新加入一个决策(i?)时，先与队尾比较，判断是否满足(slope(i, q[t]) <slope(q[t], q[t - 1])?),如果满足直接加入，否则，则如下图(k_{DC} > k_{BC}?),说明此刻(C?)一定不会出现在之后的最优策略里（不可能成为直线切点），那么我们pop_back()掉队尾即可。

　　现在单调队列里维护了决策凸包，接着我们每次转移的时候如何在凸包中选出最优决策呢？如果我们的斜率(k=a[i]?)是单调的（以单减为例）,对于(i‘>i有a[i‘]<a[i]?)且i的最优决策点(C?)，由于决策单调性(i‘?)的决策一定会是(C?)往后的决策。或者总图形的角度说，如下图，有(k_{AB} > k_{BC} > k_{CD} >a[i‘]?)，决策A、B、C一定都不是优的。综上，若(a[i] < k(q[h], q[h - 1])?)时，决策(q[h]?)一定不优，pop_front()到(q[h]?)最优即可，这样暴力移动队首指针可以将复杂度优化到(O(n)?)

　　如果斜率不单调，那么我们可以通过在凸包上二分将复杂度优化成(O(nlogn))。在开始的式子(f[i] = min{a[i] imes b[j] + c[i] + d[j]}（a,b,c,d >0且b单增）)中有个条件：b单增。这个条件也就是决策点的x单增，使得我们能够用单调队列维护凸包。如果b不单增时，我们则必须通过CDQ分治或者平衡树来维护凸包。

2.代数解释

　　最后补充另一种理解斜率优化，判断决策单调性的方法，依然对于式子(f[i] = min{a[i] imes b[j] + c[i] + d[j]}) ，我们假设有决策(j,k(j<k))且(k?)优于$j，则有：
[ a[i] imes b[j] + c[i] + d[j] > a[i] imes b[k] + c[i] + d[k] ]

[ 即：a[i] imes (b[j] - b[k]) > d[k]-d[j] ]

[ frac{-d[k] - (-d[j])}{b[k]-b[j]}>a[i] ]

　　这样就得到了决策优劣判断的关系式了，具体含义理解应对回前面的几何意义即可。

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四.决策单调性——二分数据结构与分治

考察的第三种式子依然形如：
[ f[i] = min{f[j] + w(i,j)} ]
一般来说这一类式子的(w(i,j)?)已经不像前两种情况下那么独立了，譬如(sqrt{mid a[i]-a[j] mid}, (a[i] - a[j])^p?)等等。但是，如果转移依然满足决策单调性了话，我们便能够将其优化成(O(nlogn) ?)

五.two pointer优化

　　在某些转移中（例如枚举左右端点），方程中的两维i与j存在类似于(s[i]+s[j]<val?)的限制条件，并且我们知道(s[i]?)与(s[j]?)都是单增的，那么当我们左移i指针时(s[i]uparrow,s[j]downarrow?)，则j指针只能够向右移动。这样，我们可以通过调整指针移动的顺序和方向将二维的枚举优化成一维。

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六.带权二分/WQS分治/dp凸优化

七.数据结构优化