快速幂

Posted 2021-02-04 beauty-of-wisdom

快速幂　

　　顾名思义，快速幂算法是对幂运算的一个加速优化，其算法框架基于分治算法（二分）之上。

　　接下来，介绍两种优化方法。

·基本快速幂算法

　　首先，给出传统求幂的代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
unsigned long long a,b;
cin >> a >> b;
if(b == 0) {
if(a==0){
cout <<"Wrong data!"<<endl;
return 0;
}
cout << 1 <<endl;
return 0;
}
unsigned long long x = a;
for(int i = 2;i <= b; ++i) {
a*=x;
}
cout << a <<endl;
return 0;
}

　　以求2的12次方为例，在传统求幂代码中，计算2的12次方需要计算11次乘方。但实际上，我们可以先计算出2的平方的值，把计算过程转化为4x4x4x4x4x4的形式，减少了运算量。

　　然而，我们还可以将4x4转化为2的4次方，计算过程写为16x16x16的形式。这样一来，我们只需计算2x2、4x4、16x16x16的值。整个过程只计算了4次。

　　于是，我们以递归二分的形式得出基本快速幂算法，代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;

long long a, b;

long long pow(int x, int y)
{
	if(y == 0)
	{
		if(x == 0)
		{
			cout << "Wrong Data!" << endl;
			exit(1);
		}
		return 1;
	}
	else if(y == 1) return x; 
	long long c = pow(x,y/2);
	if(b&1) return c*c*x;
	else return c*c;
}
int main()
{
	cin >> a >> b;
	cout << pow(a,b) <<endl;
	return 0;
}

·快速幂的位运算优化

　　由二进制可知，一个数可以由2的次方的和表示，同理，我们可以将次方数b拆分为多个2的次方的和，以减少计算次数。同时，利用位运算中的 &、>> 进行优化加速，以提高效率。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a¹¹=a^{(2^0+2^1+2^3)}

　　如求a^11时，我们可以通过求a(2^0+2^1+2^3)　即求a、a^1、a^3　的值解决问题。

　　至于如何实现上述过程，详见代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;

long long a, b;

long long pow(int x, int y)
{
	if(y == 0)
	{
		if(x == 0)
		{
			cout <<"Wrong Data!"<<endl;
			exit(1);
		}
		return 1;
	}
	int base = x , ans = 1;
	while(y!=0)
	{
		if((y&1)!=0)
		{
			ans*=base;
		}
		base *= base;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	cin >> a >> b;
	cout << pow(a,b) <<endl;
	return 0;
}

　　可知，base初始为a^(2^0)，再次base累乘时，base都会变成a^(2^1)，推导计算过程可知，每次base累乘，都会导致base的指数的指数（base^（2^n）中的n）增加1。

　　那么，我们同时利用>>右移运算符，从二进制的角度判断b的二进制组成，再判断是否需要乘入答案。

　　这样一来，整个快速幂的优化便实现了。

　　若思路与代码有什么漏洞的话，欢迎指正！！！