数论题常用式子

Posted 2021-02-04 oier

最近在做数论题，积累一些式子。

([x=1]=sum_{d|x}mu(d))(莫比乌斯函数定义)

然后才推出莫比乌斯函数的公式以及莫比乌斯函数是积性函数。

(sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]=varphi(n))(欧拉函数定义)

根据一些计数原理，能推出来欧拉函数的公式，从而推出欧拉函数是积性函数。

(sum_{i=1}^ni[gcd(i,n)=1]=frac n 2varphi(n))(当n=1时为1)

或者写为(sum_{i=1}^ni[gcd(i,n)=1]=frac {[n=1]+nvarphi(n)}{2})

这是利用1~n-1内与n互质的数字有对称性，关于(frac n 2)是对称的。我记得GXZ大佬曾经讲过。

我们考虑(xin[1,n))不与(n)互质，那么(x)注定和(n)有公因子，那么(n-x)和(n)也注定有公因子(显然)，所以1~n-1内所有不互质的数的位置是关于(frac n2)对称的。因为1~n的数分为两种：与n互质或者不与n互质，因为互质的都对称了，所以不互质的也对称了。

所以假设一共有(varphi(n))个数，由于每一对对称的数的和都是(n)，所以平均下来每个数是(frac n 2)，所以这个式子成立。至于(n=1)注意特殊情况要特判。

有了这个式子，在做一些和lcm有关的题就不用求mu提取d了，简化了做题步骤。（其实是因为那种老套路做不出来观察题解才想起有这么个式子的）

(sum_{d|n}varphi(d)=n)(欧拉反演???)

雷子卷积形式为(varphi*mathbf{1}=mathbf{id})

推导过程：

(n=sum_{d|n}sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=d]=sum_{d|n}sum_{i=1}^{n/d}[gcd(i,n/d)=1]=sum_{d|n}varphi(n/d)=sum_{d|n}varphi(d))

另外还有广义形式((mathbf{id_n}cdotvarphi)*(mathbf{id_n})=mathbf{id_{n+1}})

杜教筛的时候会用到这类性质：例如BZOJ4916--n=1 loj6229 n=2

做题时候一般可以强行把一个数拆成欧拉反演的形式，把一个[?=1]强行拆成莫比乌斯反演的形式

先更新到这