a^b mod p

Posted 2021-02-04 innovationv2

a^b

基础知识

求模就是取余

代码原理

例 3 ^ 7 mod 5
7 = 111
3 ^ 7 = 3^(111) = (3^001) * (3^010) * (3^100) = (3^1) * (3^2) * (3^4)
而
3 ^ 001 = 3 ^ 1 = 3
3 ^ 010 = (3 ^ 1)^2 = 9
3 ^ 100 = (3 ^ 2)^2 = 81 //每个乘式都是上一个乘式结果的平方

3 ^ 7 mod 5的一般计算过程如下

3^１ % 5 = 3
3 * 3^2 % 5 = 2
2 * 3^4 % 5 = 2

然后拆开

第一步

3 % 5 = 3

第二步-> 3 * 9 % 5 = 2拆开

3 * 3 % 5 = 9 % ５ = 4 //先将９％５计算出来，然后3 * ４％5
3 * 4 % 5 = 2　　　　　　

　第三步 -> 2 * 81 % 5 = 2 拆为

4 * 4 % 5 = 1 //为什么是 4 * ４而不是９ * ９　
2 * 1 % 5 = 2

这里为什么是４ * ４而不是9 * ９，我们看出每步求余中的数都是上一次结果的平方，
４是由９％５＝４也就是第二步计算得出，第三步对应位置本应是９ * ９％５
展开得（５＋４) * (５＋４）％５＝((5 * 5)+(5 * 4)+(4 * 5)+(4 * 4))%5=4 * 4%5
也就是说如果被除数中已经有单位个余数，那么这个数无论乘谁，原本可整除被除数的那部分都是仍可整除被除数的，而改变余数的是原本就不能整除被除数的那部分。
比如18%7=2....4
那么(18 * n)%7==(4 * n)%7
所以说如果这个题改成３^15mod5
那么就应该还有第四步
1 * １％５＝１
1 * ２％５＝２

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int a , b  , p ;
    int ans = 1 % p;
    while(b){
        if(b&1) ans = ans * a % p;
        a = a * a  % p ;
        b >>=1;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}