欧拉函数总结

Posted 2021-02-04 bcoier

欧拉函数是小于(x)的整数中与(x)互质的数的个数，一般用(φ(x))表示。特殊的，(φ(1)=1)。

如何计算出(1-n)欧拉函数呢？

我会GCD暴力枚举！

复杂度(O(n^2logn))

我会递推

复杂度(O(n^2))

递推式：

(φ(n)=n*∏(1-frac{1}{pi}))（其中pi为n的所有质因数）

这个递推式的推到比较简单，因为(n)里面一定有(n*frac{1}{pi})个数是(pi)的倍数，所以我们就有(n*(1-frac{1}{pi}))个数不是pi的个数

于是我们想知道(1-n)中有多少数不是所有(pi)倍数，我们自然可以想到乘法原理，就可以推出我们的递推式了。

其实我们也可以(O(1))推出欧拉函数，即(φ(p)=p-1),但是p要是质数，怎么证明呢？显然因为(p)是质数，所以他的质因数一定只有1和他本身，所以我们代入公式，即(φ(p)=p*(1-frac{1}{p})=p*frac{p-1}{p}=p-1)

我们有一个关于欧拉函数的性质，当(n>1)时，小于n的数中，与n互质的数的总和为：(frac{φ(n)*n}{2})。这个公式证明需要用到一个定理（其实是我太菜了不会证明）若(n)互质的数有一个是(m)，那么还存在另一个数(n-m)也与(n)互质。

所以与(n)互质的数的平均数是(frac{n}{2})，而个数又是(φ(n))，可以得到这些数的和就是(frac{φ(n)*n}{2})。

其实根据上面那个定理，我们也可以得到另一个性质：当(n>2)时，(φ(n))是偶数

那可不可以线性递推出(1-n)中所有的欧拉函数呢？

联想到我们是怎么筛出(1-n)中所有质数的呢？

不会的同学可以戳一戳

根据该链接的第一个算法，我们可以推出类比推出筛欧拉函数的方法

首先我们把所有的欧拉函数都设为它本身，然后再根据公式除以n所有的质因子（质因子可以靠筛法）

每当我们找到一个质数时，我们把它所有的倍数（即有质因子为该质数的数）乘以((1-frac{1}{pi}))即((frac{pi-1}{pi}))即可

以下算法复杂度为(O(nlogn))

il void work(int n) 
{ 
    for(re int i=1;i<=n;++i) 
    {
        p[i]=i; 
    }
    for(re int i=2;i<=n;++i) 
    { 
        if(p[i]==i)//如果i是质数
        { 
            for(re int j=i;j<=n;j+=i) 
            { 
                p[j]=p[j]/i*(i-1);//那么就把i的所有倍数筛出来 
            } 
        } 
    }
}

既然我们可以利用第一种筛法求出所有欧拉函数，那么我们可不可以根据欧拉筛推出所有的欧拉函数呢？显然是可以的。

我们需要计算的东西其实和上面的方法一样，下面给出代码。

il void euler(int n) 
{
    p[1]=1;//1要特判 
    for(re int i=2;i<=n;++i) 
    { 
        if(!b[i])//这代表i是质数 
        { 
            prime[++num]=i; 
            p[i]=i-1; 
        } 
        for(re int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;++j)//经典的欧拉筛写法 
        { 
            b[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉 
            if (i%prime[j]==0) 
            { 
                p[i*prime[j]]=p[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子，则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子 
             break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次 
            } 
            else 
            {
                p[i*prime[j]]=p[i]*p[prime[j]];//利用了欧拉函数是个积性函数的性质 
            }
        } 
    } 
}

例题：P2158 [SDOI2008]仪仗队

通过观察发现，可以被看到的人必须满足(gcd(x,y)=1)，证明也很简单，如果(x,y)不互质的话，那么一定会有((x/gcd(x,y),y/gcd(x,y)))把((x,y))挡住，换句话说，如果(gcd(x,y))等于1，那么它一定可以把所有的((kx,ky))都挡住，所以我们只需要求出与(x,y)互质对的对数即可。

通过观察也可以发现，可以看到的人一定满足对称关系，所以我们只需要算出一个三角形（下面会提到）的对数在乘以(2+1) ((2,2)也满足条件)

所以我们要算下图中为(1)的答案的对数即可

0000
0001
0011
0111

那我们怎么求呢？显然可以用欧拉函数来求出与每一个数互质的数的个数即可。

具体实现：

我们先算出(1~n)中所有的欧拉函数（(n)比较小，没必要用欧拉筛）,再把(1~n-1)所有的欧拉函数加起来就可以得到上图三角形内答案了。

为什么是(n-1)呢？我们不难发现，上图中小三角形只有(n-1)排，所以就是(n-1)啊

但这道题有一个坑点，如果(n==1)，那我们的答案应该是(0)而不是(1)，为什么呢？我们仔细回忆一下，我们为什么要(+1)呢？因为我们有一个((2,2))来特判（两个三角形的分界），如果(n==1)的话，显然就不需要(+1)了

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define maxn 400005
int n,ans,p[maxn];
int main()
{
    cin>>n;
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        p[i]=i;
    }
    for(re int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(p[i]==i)
        {
            for(re int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                p[j]=p[j]*(i-1)/i;
            }
        }
    }
    for(re int i=1;i<n;++i)
    {
        ans+=p[i];
    }
    printf("%d
",(n==1)?0:ans<<1|1);
    return 0;
}