有限与无限思想

Posted 2021-02-04 wanghai0666

一、有限与无限思想

二、典例剖析

例1【2017年宝鸡市二检第10题】

有限与无限转化是数学中的一种重要的思想方法。如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如(sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+cdots}}})中“(cdots)”即代表无限次重复，但原式却是个定值(x)，这可以通过方程(sqrt{2+x}=x)确定出来(x=2)，类似地可以把循环小数化为分数，把(0.dot{3}dot{6})化为分数的结果是______.

相关解读：

①分析：圆内接正多边形的课件

暂缺。

②求解无理方程。令(sqrt{2+sqrt{2+cdots}}=x)，则原式可写成(sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+cdots}}}=x)，通过方程(sqrt{2+x}=x)确定出来(x=2)。

③本题思路1：利用无穷递缩等比数列的前(n)项和计算。

分析如下：

(0.dot{3}dot{6}=0.36+0.0036+0.000036+cdots=36(0.01+0.0001+0.000001+cdots)=36 imescfrac{0.01(1-0.01^{+infty})}{1-0.01}xlongequal{结合极限}36 imes cfrac{1}{99}=cfrac{36}{99}=cfrac{4}{11})

思路2：利用整体思想代换处理。

(0.dot{3}dot{6} imes 100=36.dot{3}dot{6})，

上式两边同时减去(0.dot{3}dot{6})，得到(0.dot{3}dot{6} imes 100 -0.dot{3}dot{6} =36.dot{3}dot{6} - 0.dot{3}dot{6})，

即(99 imes 0.dot{3}dot{6}=36)，故(0.dot{3}dot{6}=cfrac{36}{99}=cfrac{4}{11})

④对应练习：(0.dot{4}dot{7}=cfrac{47}{99})，(0.dot{3}=cfrac{3}{9}=cfrac{1}{3})，(0.4dot{7}=cfrac{43}{90})，

提示：(0.4dot{7} imes 10=4.dot{7})，(0.4dot{7} imes 100=47.dot{7})，两式作差(90 imes 0.4dot{7}=47-4=43)，故(0.4dot{7}=cfrac{43}{90})。