Combinatorics 组合数学 模板

Posted 2021-02-04 yinku

1.隔板法

　　用于解决在两个球之间可以多次插入的问题：

　　当要求两个隔板间不必要有球时，那么就隔板和球加起来做一次全排列，假如隔板无差别就要除以隔板的排列，假如球无差别就要除以球的排列。

　　当要求两个隔板间一定要有球的时候，假如有k个隔板，那么分成k+1组，加入k+1个球，变成n+k+1，在球之间的n+k个空挡中选C(n+k,k)个位置排列入隔板，假如隔板无差别就要除以隔板的排列。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll p=1000000007;
ll _inv[100005];
ll fac[100005];
ll invfac[100005];

//快速幂 x^n%p
ll qpow(ll x,ll n){
    ll res=1;
    while(n){
        if(n&1) res=res*x%p;
        x=x*x%p;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

//快速乘 a*b%p 防止乘法溢出ll
ll qmut(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=(res+a)%p;
        a=(a+a)%p;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

//乘法逆元 快速幂+费马小定理
ll inv(ll n){
    return qpow(n,p-2);
}

//线性求乘法逆元
void init_inv(int n){
    _inv[1]=1;
    for(int i=1;i<=p-1;i++){
        _inv[i]=_inv[p%i]*(p-p/i)%p;
    }
}

//线性求阶乘、阶乘乘法逆元
void init_fac_facinv(int n){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    }
    invfac[n]=qpow(fac[n],p-2);
    for(int i=n;i>=1;i--){
        invfac[i-1]=invfac[i]*i%p;
    }
}

//排列数
ll A(int n,int m){
    return fac[n]*invfac[m]%p;
}

//组合数
ll C(int n,int m){
    return fac[n]*invfac[n-m]%p*invfac[m]%p;
}