最小生成树

Posted 2021-02-04 scotton-wild

一．生成树（SpanningTree）及最小生成树（MST）

定义：给定无向图，若它的某个子图任意两个顶点都互相连通且为一棵树，那么这棵树成为生成树，如果边上有权值，那么可以使边权值和最小的生成树称为最小生成树。

二．相关算法

1.Prim算法

算法描述：假设有一棵只包含一个顶点v的树T，贪心地选取T和其他顶点相连的最小权值的边，将其加入T中。最终可以得到一棵最小生成树。

下面证明这棵树就是最小生成树：

设顶点的集合为V，当前求出的生成树为X（X∈V），存在V上的一个最小生成树使T为它的子图。设e为连接X和VX的一条最小权值的边。假设e不在这棵树上面，那么添加e这条边后，这棵树就变成一个圈。那么必定存在一条与e不同的边f连接着X和VX。根据假设，e为连接X和VX的一条最小权值的边，那么可以删去f，添加e，可以使整棵树的权值和减小。通过不断的这样操作，最终X=V时，这棵树就是一棵最小生成树。

bool visit[maxv]={false};
int minval[maxv];
int val[maxv][maxv];
int V;
int Prim(){
    for(int i=0; i<V; i++){
        minval[i]=INF;
        }
        mincost[0]=0;
        int res=0;
        while(true){
            int v=-1;
                for(int u=0; u<V; u++)
                    if(!visit[u]&&(v==-1||minval[u]<minval[v]))
                            v=u;
                if(v==-1)
                    break;
                visit[v]=true;
                res+=minval[v];
                for(int u=0; u<V; u++){
                    minval[u]=min(minval[u]+val[v][u]);
                }
        }
        return res;
}
                

2.Kruskal算法

算法描述：按照边的权值从小到大查看一遍，如果不构成圈（重边），就把它加入生成树中，最终可以得到最小生成树。

判断是否会产生圈的方法：假设将要把连接顶点u，v的边e加入树中。如果顶点u和v不在同一个连通分量中，那么加入e不会产生圈，否则必定产生圈。

struct edge{
    int u, v, val;
};
bool cmp(edge E1, edge E2){
    return E1.val<E2.val;
}
edge es[maxe];
int V, E;
int Kruskal(){
    sort(es, es+E, cmp);
    init_union_find(V);
    int res=0;
    for(int i=0; i<E; i++){
        edge e=es[i];
        if(!same(e.u, e.v)){
            unite(e.u, e.v);
            res+=e.val;
                }
        }
        return res;
}