小清新数论题泛做

Posted 2021-02-04 bestwyj

1、bzoj3481 DZY Loves Math III
求(xy equiv Q pmod {P})的解的组数。以乘积形式输入(P,Q)。
题解
一来直接把P拆质因子转成多个方程最后求乘积。
现在考虑(xy equiv Q pmod {pi^{ai}})的解的组数。
设(p=pi^{ai}, Q=pi^{bi})
假设枚举x
则答案为 sigma gcd(x,p) 其中[gcd(x,p) | q]
改成枚举d=gcd(x,p)
或者说枚举gcd有几个pi因子
则答案为 sigma d* (sigma x: [gcd(x,p/d) == 1]) 其中d | gcd(p,Q)
这是因为你x含有的pi因子不能比d多，所以gcd(x,p/d) == 1
这个是欧拉函数
答案为 sigam d*φ(p/d) 其中d | gcd(p,Q)
枚举i从0至(min(ai,bi))，算一下就行，要用公式把φ(p^a)拆开
(φ(p^a)=p^a*(p-1)/p (a>0))
注意指数为0特判即可