整数拆分

Posted 2021-02-04 zhuobo

题目描述

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如：

7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1

总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：

4 = 4
4 = 1 + 1 + 1 + 1
4 = 2 + 2
4=1+1+2

用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入描述:

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出描述:

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

分析

1 当n是偶数时（n == 2m），那么就存在两种划分，一种是带有1的，另一种是没有1的，对于带有1的划分，每一个划分都减去1，就是n-1的划分；对于没有1的划分，把每一一个式子都除以2，划分的种类不变，就变成了n / 2的划分。于是：

f(2m) = f(2m - 1) + f(m)

2当n是奇数时（n == 2m + 1），对于奇数每一个划分都肯定会有一个1，那么把这个1减掉，划分的种类不变，转化为n - 1的划分。于是：

f(2m + 1) = f(2m)

3初始条件应该是f(1) = 1

#include <iostream>
using namespace std;

long a[1000002];


// f(2m) = f(2m - 1) + f(m)
// f(2m + 1) = f(2m)

int fun(int n){
    a[0] = a[1] = 1;
    for(int i = 2; i < 1000002; i++){
        if(i % 2 == 0){
            a[i] = (a[i - 1] + a[i/2])%1000000000;
        }
        else{
            a[i] = a[i - 1]%1000000000;
        }
    }
    return a[n];
}

int main(){
    int n;
    while(cin >> n){
        cout << fun(n) << endl;
    }
    return 0;
}