B-Tree

Posted 2021-02-04 yfzhou

B-Tree（B树）

具体讲解之前，有一点，再次强调下：B-树，即为B树。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。特此说明。

m阶B树的M阶指的是所有节点中的子节点个数的最大值。

一个m阶B树是一棵空树，或者是满足以下条件的树:

（1）节点最多有m个分支。

（2）根节点最少有两个分支，非根非叶节点至少有ceil(m/2)个分支。

（3）节点内关键字递增排序。

（4）一个节点有n-1个关键字，则该节点有n个分支，将关键字一一隔开。

（5）节点中任何一个关键字，其左边分支上的节点值都小于这个关键字，右边分支的节点值都大于这个关键字。

（6）叶子节点处于同一层。

如图5阶B树满足：

（1）节点最多有5个分支（叶子节点）。

（2）根节点最少有两个分支，非根非叶节点至少有3个分支。

（3）节点内关键字递增排序。

（4）一个节点有2个关键字，则该节点有2+1个分支，将关键字一一隔开。

（5）节点中任何一个关键字，其左边分支上的节点值都小于这个关键字，右边分支的节点值都大于这个关键字。

（6）叶子节点处于同一层。

B树插入操作

由上可知，m阶B树，非根非叶节点至少有ceil(m/2)个分支，最多由m个分支，则节点关键字个数的范围为ceil(m/2)-1 ~ m-1。

B树节点的插入是待插入节点的值与B树节点依次比较的过程，从根节点开始，若小于当前节点的值，则递归与节点的左子树进行比较，若大于则与右子树进行比较。由此可见，B树节点的插入总是落在叶子节点上，在插入过程中可能会破坏B树的特征，如新关键字的插入使得节点中关键字的个数超过规定个数，则要进行节点拆分。

我们以关键字序列{1,2,6,7,11,4,8,13,10,5,17,9,16,20,3,12,14,18,19,15}创建一个5阶B树。

（1）确定节点关键字个数范围，由于创建的是5阶B树，因此关键字的个数范围为2~4。

（2）根结点最多可以容纳4个关键字，依次插入关键字1、2、6、7

（3）插入关键字11，发现此时结点中关键字的个数变为5，超出范围，需要拆分，去关键字数组中的中间位置，也就是k[3]=6，作为一个独立的结点，即新的根结点，将关键字6左、右关键字分别做成两个结点，作为新根结点的两个分支（图左为拆分前，图右为拆分后）

（4）新关键字总是插在叶子结点上，插入关键字4、8、13

（5）关键字10需要插入在关键字8和11之间，此时又会出现关键字个数超出范围的情况，因此需要拆分。拆分时需要将关键字10纳入根结点中，并将10左右的关键字做成两个新的结点连在根结点上。

（6）插入关键字5、17、9、16

（7）关键字20插入在关键字17以后，此时会造成结点关键字个数超出范围，需要拆分，方法同上

（8）按照上述步骤依次插入关键字3、12、14、18、19

（9）插入最后一个关键字15，15应该插入在14之后，此时会出现关键字个数超出范围的情况，则需要进行拆分，将13并入根结点，13并入根结点之后，又使得根结点的关键字个数超出范围，需要再次进行拆分，将10作为新的根结点，并将10左、右关键字做成两个新结点连接到新根结点的指针上，这种插入一个关键字之后出现多次拆分的情况称为连锁反应

B树删除操作

对于B树关键字的删除，需要找到待删除的关键字，在结点中删除关键字的过程也有可能破坏B树的特性，如旧关键字的删除可能使得结点中关键字的个数少于规定个数，则需要向其兄弟结点借关键字或者和其孩子结点进行关键字的交换，也可能需要进行结点的合并，其中，和当前结点的孩子进行关键字交换的操作可以保证删除操作总是发生在终端结点上。

我们用刚刚生成的B-树作为例子，一次删除8、16、15、4这4个关键字。

（1）删除关键字8、16。关键字8在终端结点上，并且删除后其所在结点中关键字的个数不会少于2，因此可以直接删除。关键字16不在终端结点上，但是可以用17来覆盖16，然后将原来的17删除掉，这就是上面提到的和孩子结点进行关键字交换的操作。这里不能用15和16进行关键字交换，因为这样会导致15所在结点中关键字的个数小于2。

（2）删除关键字15，15虽然也在终端结点上，但是不能直接删除，因为删除后当前结点中关键字的个数小于2。这是需要向其兄弟结点借关键字，显然应该向其右兄弟来借关键字，因为左兄弟的关键字个数已经是下限2.借关键字不能直接将18移到15所在的结点上，因为这样会使得15所在的结点上出现比17大的关键字，所以正确的借法应该是先用17覆盖15，在用18覆盖原来的17，最后删除原来的18。

（3）删除关键字4，4在终端结点上，但是此时4所在的结点的关键字个数已经到下限，需要借关键字，不过可以看到其左右兄弟结点已经没有多余的关键字可借。

所以就需要进行关键字的合并。可以先将关键字4删除，然后将关键字5、6、7、9进行合并作为一个结点链接在关键字3右边的指针上，也可以将关键字1、2、3、5合并作为一个结点链接在关键字6左边的指针上.

显然上述两种情况下都不满足B-树的规定，即出现了非根的双分支结点，需要继续进行合并。

有时候删除的结点不在终端结点上，我们首先需要将其转化到终端结点上，然后再按上面的各种情况进行删除。在讲述这种情况下的删除方法之前，要引入一个相邻关键字的概念，对于不在终端结点的关键字a，它的相邻关键字为其左子树中值最大的关键字或者其右子树中值最小的关键字。找a的相邻关键字的方法为：沿着a的左指针来到其子树根结点，然后沿着根结点中最右端的关键字的右指针往下走，用同样的方法一直走到叶结点上，叶结点上的最右端的关键字即为a的相邻关键字（这里找的是a左边的相邻关键字，我们可以用同样的思路找到a右边的相邻关键字）。可以看到下图中a的相邻关键字是d和e，要删除关键字a，可以用d来取代a，然后按照上面的情况删除叶子结点上的d即可。

 

参考文献

1.B-树（B树）详解