Loj#6432「PKUSC2018」真实排名（二分查找+组合数）

Posted 2021-02-04 water-mi

题面

Loj

题解

普通的暴力是直接枚举改或者不改，最后在判断最后对哪些点有贡献。

而这种方法是很难优化的。所以考虑在排序之后线性处理。首先先假设没有重复的元素

struct Node { int poi, id; } a[N];
bool operator < (const Node &a, const Node &b) { return a.poi < b.poi; }
bool operator < (const Node &a, const int &b) { return a.poi < b; }
bool operator < (const int &a, const Node &b) { return a < b.poi; }

int main() {
    read(n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i].poi), a[i].id = i;
    sort(a + 1, a + n + 1);
}

对于一个点，我们同样是枚举它改或者不改，但是，接着我们来判断哪些点的变化可以对这个点产生贡献，

---

决策1：不改

不改的话，那么这个元素后面的元素不管变还是不变都可以产生贡献，假设当前处理到(i)，则其后面有(n-i)个元素。

接着考虑前面的元素，前面的元素改变可以对它产生贡献当且仅当它小于(a_i/2)。这里可以使用二分查找。假设一共有(site)个元素满足上面这个条件。

则这个决策所产生的贡献为：(C_{n-i+site}^k)

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决策2：改

当这个元素改的时候，怎么保证它的(rank)不变呢？那么就要保证区间([a_i,2a_i])这个区间内的所有数字都要变。同样可以二分来确定这个区间内有多少个元素。假设右界为(tmp)，则有(tot=tmp-i+1)个元素是必须要变的

则这个决策所产生的贡献为：(C_{n-tot}^{k-tot})

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重复的元素

之前的所有决策都是在元素不重复的情况下计算的贡献。那么当元素重复时，怎么计算呢？假设现在同一个元素已经出现了(cf)次。

考虑不改的决策，由于(rank)的含义是大于等于它的数不变，所以这个决策的贡献变为：(C_{n-i+site+cf-1}^k)

接着考虑改变的决策，同样，根据(rank)的定义，这些重复的数字也需要改变。所以(tot)变为：
[ tot=tmp-i+1+cf-1=tmp-i+cf ]

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接着还有一些细节，比如对于(0)的特判（直接就是(C(n,k))）之类的

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::min; using std::max;
using std::swap; using std::sort;
typedef long long ll;

template<typename T>
void read(T &x) {
    int flag = 1; x = 0; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') flag = -flag; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); x *= flag;
}

const int N = 1e5 + 10, P = 998244353;
int n, k, ret[N], fac[N], inv[N];
struct Node { int poi, id; } a[N];
bool operator < (const Node &a, const Node &b) { return a.poi < b.poi; }
bool operator < (const Node &a, const int &b) { return a.poi < b; }
bool operator < (const int &a, const Node &b) { return a < b.poi; }
inline void add(int &x) { ++x; if(x == P) x = 0; }

int find(double val, int site) {
    int l = 1, r = site - 1, ret = 0;
    while(l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(1. * a[mid].poi < val) ret = mid, l = mid + 1;
        else r = mid - 1; 
    } return ret;
}

int C(int n, int m) {
    if(n < m) return 0;
    return (int)(1ll * (1ll * fac[n] * inv[m] % P) * inv[n - m] % P);
}

int qpow(int a, int b) {
    int ret = 1;
    for(; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % P) if(b & 1) ret = 1ll * ret * a % P;
    return ret;
}

int main () {
    read(n), read(k), fac[0] = inv[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
    inv[n] = qpow(fac[n], P - 2);
    for(int i = n; i >= 1; --i) inv[i - 1] = 1ll * inv[i] * i % P;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) read(a[i].poi), a[i].id = i;
    sort(a + 1, a + n + 1);
    for(int i = 1, cf = 0; i <= n; ++i) {
        if(a[i].poi == 0) { ret[a[i].id] = C(n, k); continue; }
        int site = find(1. * a[i].poi / 2., i);
        if(a[i].poi == a[i - 1].poi) ++cf;
        else cf = 1;
        (ret[a[i].id] += C(site + n - i + cf - 1, k)) %= P;//改的决策
        int tmp = lower_bound(a + i + 1, a + n + 1, a[i].poi * 2) - a - 1;
        if(tmp != -1) {
            int tot = tmp - i + cf;
            if(k >= tot) (ret[a[i].id] += C(n - tot, k - tot)) %= P;
        }//不改的决策
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d
", ret[i]);
    return 0;
}