P4512 模板多项式除法

Posted 2021-02-04 olinr

(color{#0066ff}{ 题目描述 })

给定一个 (n) 次多项式 (F(x)) 和一个 (m) 次多项式 (G(x)) ，请求出多项式 (Q(x)), (R(x))，满足以下条件：

• (Q(x)) 次数为 (n-m)，(R(x)) 次数小于 (m)
• (F(x) = Q(x) * G(x) + R(x))

所有的运算在模 (998244353) 意义下进行。

(color{#0066ff}{输入格式})

第一行两个整数 (n)，(m)，意义如上。

第二行 (n+1)个整数，从低到高表示 (F(x)) 的各个系数。 第三行 (m+1)个整数，从低到高表示 (G(x)) 的各个系数。

(color{#0066ff}{输出格式})

第一行 (n-m+1) 个整数，从低到高表示 (Q(x)) 的各个系数。

第二行 (m) 个整数，从低到高表示 (R(x)) 的各个系数。 如果 (R(x)) 不足 (m-1) 次，多余的项系数补 (0)。

(color{#0066ff}{输入样例})

5 1
1 9 2 6 0 8
1 7

(color{#0066ff}{输出样例})

237340659 335104102 649004347 448191342 855638018
760903695

(color{#0066ff}{数据范围与提示})

对于所有数据，(1 le m < n le 10^5)，给出的系数均属于 ([0, 998244353) cap mathbb{Z})

(color{#0066ff}{ 题解 })

以下图片来自ghj1222的课件qwq

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
    char ch; LL x = 0, f = 1;
    while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
    for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
    return x * f;
}
const int maxn = 4e5 + 10;
const int mod = 998244353;
int len, r[maxn];
using std::vector;
LL ksm(LL x, LL y) {
    LL re = 1LL;
    while(y) {
        if(y & 1) re = re * x % mod;
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return re;
}
void FNTT(vector<int> &A, int flag) {
    A.resize(len);
    for(int i = 0; i < len; i++) if(i < r[i]) std::swap(A[i], A[r[i]]);
    for(int l = 1; l < len; l <<= 1) {
        int w0 = ksm(3, (mod - 1) / (l << 1));
        for(int i = 0; i < len; i += (l << 1)) {
            int w = 1, a0 = i, a1 = i + l;
            for(int k = 0; k < l; k++, a0++, a1++, w = 1LL * w * w0 % mod) {
                int tmp = 1LL * A[a1] * w % mod;
                A[a1] = ((A[a0] - tmp) % mod + mod) % mod;
                A[a0] = (A[a0] + tmp)  % mod;
            }
        }
    }
    if(!(~flag)) {
        std::reverse(A.begin() + 1, A.end());
        int inv = ksm(len, mod - 2);
        for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = 1LL * A[i] * inv % mod;
    }
}
vector<int> operator - (const vector<int> &A, const vector<int> &B) {
    vector<int> ans;
    for(int i = 0; i < (int)std::min(A.size(), B.size()); i++) ans.push_back(A[i] - B[i]);
    if(A.size() < B.size()) for(int i = A.size(); i < (int)B.size(); i++) ans.push_back(-B[i]);
    if(A.size() > B.size()) for(int i = B.size(); i < (int)A.size(); i++) ans.push_back(A[i]);
    return ans;
}
vector<int> operator * (vector<int> A, vector<int> B) {
    int tot = A.size() + B.size() - 1;
    for(len = 1; len <= tot; len <<= 1);
    for(int i = 0; i < len; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1));
    FNTT(A, 1), FNTT(B, 1);
    vector<int> ans;
    for(int i = 0; i < len; i++) ans.push_back(1LL * A[i] * B[i] % mod);
    FNTT(ans, -1);
    ans.resize(tot);
    return ans;
}
vector<int> inv(const vector<int> &A) {
    if(A.size() == 1) {
        vector<int> ans;
        ans.push_back(ksm(A[0], mod - 2));
        return ans;
    }
    int n = A.size(), _ = (n + 1) >> 1;
    vector<int> ans, B = A;
    B.resize(_);
    ans.push_back(2);
    B = inv(B);
    ans = B * (ans - A * B);
    ans.resize(n);
    return ans;
}
vector<int> rev(const vector<int> &A) {
    vector<int> B = A;
    std::reverse(B.begin(), B.end());
    return B;
}
void work(vector<int> f, vector<int> g) {
    int n = f.size() - 1, m = g.size() - 1;
    vector<int> ff = rev(f), gg = rev(g), s, y;
    ff.resize(n - m + 1), gg.resize(n - m + 1);
    s = ff * inv(gg);
    s.resize(n - m + 1);
    s = rev(s);
    vector<int> v = g * s;
    v.resize(m), f.resize(m), y.resize(m);
    for(int i = 0; i < m; i++) y[i] = ((f[i] - v[i]) % mod + mod) % mod;
    for(int i = 0; i < n - m + 1; i++) printf("%d%c", s[i], i == n - m? '
' : ' ');
    for(int i = 0; i < m; i++) printf("%d%c", y[i], i == m - 1? '
' : ' ');
}
    

int main() {
    int n = in(), m = in();
    vector<int> a, b;
    for(int i = 0; i <= n; i++) a.push_back(in());
    for(int i = 0; i <= m; i++) b.push_back(in());
    work(a, b);
    return 0;
}