Codeforces Round #114 (Div. 1) C Wizards and Numbers

Posted 2021-02-04 n-psong

题目链接：Wizards and Numbers

题意：有两个数字a, b，假设 a>b，两个玩家进行游戏，有两种操作：1. 令 a=a-b^k，k为正数，且需要保证操作后 a 仍然非负；2. 令 a=a%b。最终有一个人无法操作（存在一个数为0）的时候便输了。

题解：如果只有操作2就是一个辗转相除法，实际上加上了操作1，执行的过程中也一定会出现辗转相除法种每轮的数字情况。所以以辗转相除法的每轮情况作为分段点，讨论其是必胜态还是必败态，首先(t, 0) 一定是必败态，所以其上一层的状态一定是必胜态。主要考虑当前层为必胜态，那上一层的情况为什么，问题实际上可以转化为有 tx 堆石子，每次可以 x的幕次颗，谁最先取光谁就输了。打个表找找规律便可以了：若 x 为奇数，则结果与 t 的奇偶有关；若 x 为偶数，则会在 x^2 处作为分界点，规律发生了变化，但还是很显然的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL xx[105],yy[105],cnt;

LL gcd(LL x,LL y){
    int res=(y==0?x:gcd(y,x%y));
    xx[++cnt]=x;
    yy[cnt]=y;
    return res;
}

LL ans[105];
bool check(LL a,LL b){
    if(a%2==1){
        return (b/a-1)%2;
    }
    else{
        if(a>=1000000000||b<a*a){
            return !((b/a)%2);
        }
        else{
            LL res=b/a;
            LL c1=(res%(a+1))%2;
            LL c2=res%(a+1);
            return !c1||(c2==a);
        }
    }
}
void solve(LL a,LL b){
    cnt=0;
    gcd(a,b);
    ans[1]=0;
    for(int i=2;i<=cnt;i++){
        if(ans[i-1]==0) ans[i]=1;
        else if(check(yy[i],xx[i]-yy[i-1])) ans[i]=1;
        else ans[i]=0;
    }
    if(ans[cnt]) printf("First
");
    else printf("Second
");
}

int p=12;
int biao[100005];
int dabiao(int x){
    if(biao[x]!=-1) return biao[x];
    if(x<0) return 0;
    int temp=p;
    int flag=0;
    while(temp<=x*p){
        if(dabiao(x-temp/p)==0){
            flag=1; break;
        }
        temp*=p;
    }
    return biao[x]=flag;
}

int main(){
    /*******
    memset(biao,-1,sizeof(biao));
    biao[0]=1;
    dabiao(100);
    for(int i=1;i<=100;i++){
        cout<<i<<" "<<biao[i]<<endl;
    }
    *******/
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
        LL a,b;
        cin>>a>>b;
        if(a<b) swap(a,b);
        if(b==0) cout<<"Second"<<endl;
        else if(a%b==0) cout<<"First"<<endl;
        else solve(a,b);
    }

    return 0;
}